Номер 1.80, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.80, страница 28.

Условие.

1.80 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Упростите выражение:

а) $\frac{5x-5y}{x} \cdot \frac{2x^2}{y-x};$

б) $\frac{a^2-c^2}{c^2} : \frac{c-a}{c};$

в) $\frac{a}{ab-b^2} : \frac{a^2}{b^2-a^2};$

г) $\frac{(x-y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{y^2-x^2};$

д) $\frac{2a^2}{25-5a} : \frac{10a}{(a-5)^2};$

е) $\frac{m}{3m-3n} \cdot \frac{n^2-m^2}{m^2}.$

Образец. $\frac{x-y}{a} : \frac{y-x}{b} = \frac{x-y}{a} \cdot \frac{b}{y-x} = -\frac{(x-y)b}{a(x-y)} = -\frac{b}{a}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для упрощения выражения $\frac{5x - 5y}{x} \cdot \frac{2x^2}{y-x}$, сначала вынесем общие множители. В числителе первой дроби $5x - 5y = 5(x-y)$. В знаменателе второй дроби $y-x = -(x-y)$. Получаем: $\frac{5(x-y)}{x} \cdot \frac{2x^2}{-(x-y)}$. Теперь сократим общие множители $(x-y)$ в числителе и знаменателе, а также $x$. В результате получаем: $\frac{5 \cdot 2x}{-1} = -10x$.
Ответ: $-10x$.

б)

Упростим выражение $\frac{a^2 - c^2}{c^2} : \frac{c - a}{c}$. Деление дробей заменяется на умножение на перевернутую дробь: $\frac{a^2 - c^2}{c^2} \cdot \frac{c}{c - a}$. Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$, а в знаменателе второй дроби вынесем минус за скобки: $c-a=-(a-c)$. Получим: $\frac{(a-c)(a+c)}{c^2} \cdot \frac{c}{-(a-c)}$. Сокращаем общие множители $(a-c)$ и $c$: $\frac{a+c}{c} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{a+c}{c}$.
Ответ: $-\frac{a+c}{c}$.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{a}{ab - b^2} : \frac{a^2}{b^2 - a^2}$. Заменим деление на умножение: $\frac{a}{ab - b^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{a^2}$. Вынесем общие множители в знаменателе первой дроби $ab-b^2=b(a-b)$ и разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$. Заметим, что $b-a=-(a-b)$. Выражение примет вид: $\frac{a}{b(a-b)} \cdot \frac{-(a-b)(a+b)}{a^2}$. Сократим общие множители $a$ и $(a-b)$: $\frac{1}{b} \cdot \frac{-(a+b)}{a} = -\frac{a+b}{ab}$.
Ответ: $-\frac{a+b}{ab}$.

г)

Упростим $\frac{(x - y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{y^2 - x^2}$. Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$. Также учтем, что $y-x=-(x-y)$. Получаем: $\frac{(x - y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{-(x-y)(x+y)}$. Сокращаем общие множители $y^2$ и $(x-y)$: $\frac{x-y}{1} \cdot \frac{1}{-(x+y)} = -\frac{x-y}{x+y}$. Это выражение можно также записать как $\frac{y-x}{x+y}$.
Ответ: $\frac{y-x}{x+y}$.

д)

Дано выражение $\frac{2a^2}{25 - 5a} : \frac{10a}{(a - 5)^2}$. Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\frac{2a^2}{25 - 5a} \cdot \frac{(a - 5)^2}{10a}$. Выносим общий множитель в знаменателе первой дроби $25-5a = 5(5-a) = -5(a-5)$. Получаем: $\frac{2a^2}{-5(a-5)} \cdot \frac{(a - 5)^2}{10a}$. Сокращаем общие множители: $2a^2$ и $10a$ на $2a$, а также $(a-5)^2$ и $(a-5)$ на $(a-5)$. Получаем: $\frac{a}{-5} \cdot \frac{a-5}{5} = \frac{a(a-5)}{-25} = -\frac{a(a-5)}{25}$.
Ответ: $-\frac{a(a-5)}{25}$.

е)

Упростим выражение $\frac{m}{3m - 3n} \cdot \frac{n^2 - m^2}{m^2}$. Вынесем общие множители в знаменателе первой дроби: $3m-3n=3(m-n)$. Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов: $n^2-m^2=(n-m)(n+m)$. Заметим, что $n-m=-(m-n)$. Выражение примет вид: $\frac{m}{3(m-n)} \cdot \frac{-(m-n)(m+n)}{m^2}$. Сократим общие множители $(m-n)$ и $m$: $\frac{1}{3} \cdot \frac{-(m+n)}{m} = -\frac{m+n}{3m}$.
Ответ: $-\frac{m+n}{3m}$.