Номер 1.75, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.75, страница 27.

Условие.

1.75 Выполните действия:

а) $\frac{a}{bc} \cdot \frac{c^3}{3a}$

Б) $\frac{x^2}{y} : \frac{x}{2y}$

В) $\frac{x}{yz} \cdot \frac{y}{xz}$

Г) $\frac{a^4}{b^3} : \frac{a^3}{b^2}$

Д) $\frac{a^4b^2}{5xy} \cdot \frac{10x^3}{a^2b^2}$

Е) $\frac{3mn}{2pq^2} : \frac{6m^2}{pq}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы умножить две алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{a}{bc} \cdot \frac{c^3}{3a} = \frac{a \cdot c^3}{bc \cdot 3a} $

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общий множитель $a$ в числителе и знаменателе сокращается. Также сокращаем дробь на $c$, помня, что $c^3 = c \cdot c^2$.

$ \frac{\cancel{a} \cdot c^2 \cdot \cancel{c}}{b \cdot \cancel{c} \cdot 3 \cdot \cancel{a}} = \frac{c^2}{3b} $

Ответ: $ \frac{c^2}{3b} $

б) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть "перевернуть" вторую дробь).

$ \frac{x^2}{y} : \frac{x}{2y} = \frac{x^2}{y} \cdot \frac{2y}{x} = \frac{x^2 \cdot 2y}{y \cdot x} $

Сокращаем общие множители $x$ и $y$ в числителе и знаменателе.

$ \frac{2 \cdot x \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y}}{\cancel{y} \cdot \cancel{x}} = 2x $

Ответ: $ 2x $

в) Умножаем числители и знаменатели дробей.

$ \frac{x}{yz} \cdot \frac{y}{xz} = \frac{x \cdot y}{yz \cdot xz} = \frac{xy}{xyz^2} $

Сокращаем общие множители $x$ и $y$.

$ \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{x}\cancel{y}z^2} = \frac{1}{z^2} $

Ответ: $ \frac{1}{z^2} $

г) Заменяем деление на умножение на обратную дробь.

$ \frac{a^4}{b^3} : \frac{a^3}{b^2} = \frac{a^4}{b^3} \cdot \frac{b^2}{a^3} = \frac{a^4 b^2}{a^3 b^3} $

Сокращаем дробь, используя свойство степеней $ \frac{k^m}{k^n} = k^{m-n} $.

$ a^{4-3} \cdot b^{2-3} = a^1 \cdot b^{-1} = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b} $

Ответ: $ \frac{a}{b} $

д) Умножаем числители и знаменатели дробей.

$ \frac{a^4b^2}{5xy} \cdot \frac{10x^3}{a^2b^2} = \frac{a^4b^2 \cdot 10x^3}{5xy \cdot a^2b^2} $

Сгруппируем и сократим множители по отдельности: числовые коэффициенты, степени переменной $a$, $b$, $x$ и $y$.

$ (\frac{10}{5}) \cdot (\frac{a^4}{a^2}) \cdot (\frac{b^2}{b^2}) \cdot (\frac{x^3}{x}) \cdot (\frac{1}{y}) = 2 \cdot a^{4-2} \cdot b^{2-2} \cdot x^{3-1} \cdot \frac{1}{y} = 2 \cdot a^2 \cdot b^0 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y} $

Так как $b^0 = 1$, получаем:

$ \frac{2a^2x^2}{y} $

Ответ: $ \frac{2a^2x^2}{y} $

е) Умножаем числители и знаменатели дробей.

$ \frac{3mn}{2pq^2} \cdot \frac{6m^2}{pq} = \frac{3mn \cdot 6m^2}{2pq^2 \cdot pq} $

Упростим числитель и знаменатель, перемножив коэффициенты и сложив степени одинаковых переменных.

Числитель: $ 3 \cdot 6 \cdot m \cdot m^2 \cdot n = 18m^{1+2}n = 18m^3n $

Знаменатель: $ 2 \cdot p \cdot p \cdot q^2 \cdot q = 2p^{1+1}q^{2+1} = 2p^2q^3 $

Получаем дробь: $ \frac{18m^3n}{2p^2q^3} $. Сокращаем числовые коэффициенты $ \frac{18}{2} = 9 $.

$ \frac{9m^3n}{p^2q^3} $

Ответ: $ \frac{9m^3n}{p^2q^3} $