Номер 1.71, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.71, страница 25.

Условие.

1.71 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0;$

б) $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}.$

Подсказка. б) Сначала сложите первую и вторую дроби, затем прибавьте третью.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Докажем тождество, приведя все дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} $

Для удобства преобразуем знаменатели, используя следующие соотношения: $(b-a) = -(a-b)$, $(c-a) = -(a-c)$ и $(c-b) = -(b-c)$.

Преобразуем второй член: $ \frac{1}{(b-c)(b-a)} = \frac{1}{(b-c)(-(a-b))} = -\frac{1}{(a-b)(b-c)} $

Преобразуем третий член: $ \frac{1}{(c-a)(c-b)} = \frac{1}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{(a-c)(b-c)} $

Теперь выражение выглядит так: $ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)} $

Общим знаменателем является выражение $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем все дроби к этому знаменателю.

$ \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{1 \cdot (a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} $

Запишем все под одной дробной чертой и сложим числители:

$ \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)} $

Сгруппируем и сократим слагаемые в числителе:

$ \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 0 $

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано при условии, что $ a \neq b, b \neq c, a \neq c $.

Ответ: $0 = 0$, что и требовалось доказать.

б) Докажем тождество, следуя подсказке. Сначала сложим первую и вторую дроби.

Левая часть выражения: $ \frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} $

Шаг 1: Сложение первых двух дробей.

$ \frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} $

Общий знаменатель для них - $ a(a+1)(a+2) $.

$ \frac{1 \cdot (a+2)}{a(a+1)(a+2)} + \frac{1 \cdot a}{a(a+1)(a+2)} = \frac{a+2+a}{a(a+1)(a+2)} = \frac{2a+2}{a(a+1)(a+2)} $

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь на $(a+1)$:

$ \frac{2(a+1)}{a(a+1)(a+2)} = \frac{2}{a(a+2)} $

Шаг 2: Прибавим к полученному результату третью дробь.

$ \frac{2}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} $

Общий знаменатель - $ a(a+2)(a+3) $.

$ \frac{2 \cdot (a+3)}{a(a+2)(a+3)} + \frac{1 \cdot a}{a(a+2)(a+3)} = \frac{2(a+3)+a}{a(a+2)(a+3)} = \frac{2a+6+a}{a(a+2)(a+3)} $

Упростим числитель:

$ \frac{3a+6}{a(a+2)(a+3)} = \frac{3(a+2)}{a(a+2)(a+3)} $

Сократим дробь на $(a+2)$:

$ \frac{3}{a(a+3)} $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Тождество доказано при условии, что $ a \notin \{0, -1, -2, -3\} $.

Ответ: $ \frac{3}{a(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)} $, что и требовалось доказать.