Номер 1.70, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.70, страница 25.

Условие.

1.70 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Представьте дробь в виде суммы или в виде разности многочлена и дроби:

а) $ \frac{a^2}{a-1} $;

б) $ \frac{c^2}{c^2-1} $;

в) $ \frac{m^2+n^2}{m-n} $;

г) $ \frac{x^2+xz+z^2}{x+z} $.

Образец. $ \frac{x^2}{x+1} = \frac{x^2-1+1}{x+1} = \frac{x^2-1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = x-1 + \frac{1}{x+1} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы представить дробь $\frac{a^2}{a-1}$ в виде суммы многочлена и дроби, нужно выделить в числителе слагаемое, которое делится на знаменатель $a-1$. Для этого воспользуемся тем, что выражение $a^2-1$ делится на $a-1$ по формуле разности квадратов: $a^2-1=(a-1)(a+1)$.
Представим числитель $a^2$ как $a^2 - 1 + 1$.
Теперь исходная дробь примет вид:
$\frac{a^2}{a-1} = \frac{a^2 - 1 + 1}{a-1}$
Разобьем эту дробь на сумму двух дробей:
$\frac{a^2 - 1}{a-1} + \frac{1}{a-1}$
Упростим первую дробь, используя разложение на множители:
$\frac{(a-1)(a+1)}{a-1} + \frac{1}{a-1} = a+1 + \frac{1}{a-1}$
Таким образом, мы представили исходную дробь в виде суммы многочлена $a+1$ и дроби $\frac{1}{a-1}$.
Ответ: $a+1 + \frac{1}{a-1}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{c^2}{c^2-1}$. В этом случае в числителе можно легко выделить знаменатель. Для этого представим числитель $c^2$ в виде разности и суммы: $c^2 = (c^2 - 1) + 1$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{c^2 - 1 + 1}{c^2-1}$
Разделим на сумму двух дробей:
$\frac{c^2-1}{c^2-1} + \frac{1}{c^2-1}$
Первая дробь равна 1, так как числитель и знаменатель одинаковы. В результате получаем:
$1 + \frac{1}{c^2-1}$
Ответ: $1 + \frac{1}{c^2-1}$

в) Для дроби $\frac{m^2+n^2}{m-n}$ применим тот же метод. Выделим в числителе выражение, которое делится на $m-n$. Удобно использовать формулу разности квадратов $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
Для этого в числителе вычтем и прибавим $n^2$:
$m^2+n^2 = m^2-n^2+n^2+n^2 = (m^2-n^2) + 2n^2$
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(m^2-n^2) + 2n^2}{m-n} = \frac{m^2-n^2}{m-n} + \frac{2n^2}{m-n}$
Упростим первую дробь:
$\frac{(m-n)(m+n)}{m-n} + \frac{2n^2}{m-n} = m+n + \frac{2n^2}{m-n}$
Ответ: $m+n + \frac{2n^2}{m-n}$

г) В дроби $\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}$ можно выделить целую часть, сгруппировав слагаемые в числителе и вынеся общий множитель.
Сгруппируем первые два слагаемых $x^2+xz$ и вынесем $x$ за скобки:
$x^2+xz+z^2 = x(x+z)+z^2$
Теперь подставим это в дробь:
$\frac{x(x+z)+z^2}{x+z}$
Разделим на сумму дробей:
$\frac{x(x+z)}{x+z} + \frac{z^2}{x+z}$
Сократив первую дробь, получаем итоговый результат:
$x + \frac{z^2}{x+z}$
Эту операцию также называют делением многочлена на многочлен "уголком", где $x$ — это частное, а $z^2$ — остаток.
Ответ: $x + \frac{z^2}{x+z}$