Номер 1.65, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.65, страница 24.

Условие.

Упростите выражение (1.65—1.68).

1.65 a) $ \frac{a}{ax - x^2} - \frac{a}{ax + x^2} $;

б) $ \frac{a - b}{a^2 + ab} - \frac{a + b}{a^2 - ab} $;

В) $ \frac{m + n}{m^2n - mn^2} - \frac{m - n}{m^2n + mn^2} $;

Г) $ \frac{x + y}{xy - y^2} - \frac{4x}{x^2 - y^2} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $\frac{a}{ax - x^2} - \frac{a}{ax + x^2}$, первым шагом разложим знаменатели на множители: $ax - x^2 = x(a - x)$ и $ax + x^2 = x(a + x)$. Наименьший общий знаменатель равен $x(a - x)(a + x)$. Приводим обе дроби к этому знаменателю: $\frac{a(a + x)}{x(a - x)(a + x)} - \frac{a(a - x)}{x(a - x)(a + x)}$. Теперь выполним вычитание числителей: $\frac{a(a + x) - a(a - x)}{x(a - x)(a + x)} = \frac{a^2 + ax - (a^2 - ax)}{x(a^2 - x^2)} = \frac{a^2 + ax - a^2 + ax}{x(a^2 - x^2)} = \frac{2ax}{x(a^2 - x^2)}$. После сокращения на $x$ (при $x \neq 0$) получаем окончательный результат. Ответ: $\frac{2a}{a^2 - x^2}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{a - b}{a^2 + ab} - \frac{a + b}{a^2 - ab}$. Разложим знаменатели на множители: $a^2 + ab = a(a + b)$ и $a^2 - ab = a(a - b)$. Общим знаменателем будет $a(a + b)(a - b)$, что равно $a(a^2 - b^2)$. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{(a - b)(a - b)}{a(a + b)(a - b)} - \frac{(a + b)(a + b)}{a(a - b)(a + b)} = \frac{(a - b)^2 - (a + b)^2}{a(a^2 - b^2)}$. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $(a-b)^2 - (a+b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = -4ab$. Таким образом, выражение становится $\frac{-4ab}{a(a^2 - b^2)}$. Сократив на $a$ (при $a \neq 0$), получаем. Ответ: $\frac{-4b}{a^2 - b^2}$.

в) Упростим $\frac{m + n}{m^2n - mn^2} - \frac{m - n}{m^2n + mn^2}$. Сначала факторизуем знаменатели: $m^2n - mn^2 = mn(m - n)$ и $m^2n + mn^2 = mn(m + n)$. Наименьший общий знаменатель — это $mn(m - n)(m + n)$. Приводим дроби к нему: $\frac{(m + n)(m + n)}{mn(m - n)(m + n)} - \frac{(m - n)(m - n)}{mn(m + n)(m - n)} = \frac{(m + n)^2 - (m - n)^2}{mn(m^2 - n^2)}$. Числитель упрощается по тождеству $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$, поэтому $(m+n)^2 - (m-n)^2 = 4mn$. Дробь принимает вид $\frac{4mn}{mn(m^2 - n^2)}$. Сокращаем на $mn$ (при $m \neq 0, n \neq 0$). Ответ: $\frac{4}{m^2 - n^2}$.

г) Рассмотрим $\frac{x + y}{xy - y^2} - \frac{4x}{x^2 - y^2}$. Разложим знаменатели на множители: $xy - y^2 = y(x - y)$ и $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Общий знаменатель — $y(x - y)(x + y)$. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{(x + y)(x + y)}{y(x - y)(x + y)} - \frac{4x \cdot y}{y(x - y)(x + y)} = \frac{(x + y)^2 - 4xy}{y(x - y)(x + y)}$. Упростим числитель: $(x + y)^2 - 4xy = x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$. Получаем дробь $\frac{(x - y)^2}{y(x - y)(x + y)}$. Сокращаем на общий множитель $(x - y)$ (при $x \neq y$). Ответ: $\frac{x - y}{y(x + y)}$.