Номер 1.69, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.69, страница 25.

Условие.

1.69 Представьте в виде дроби:

а) $2x - y - \frac{2x - y^2}{y}$;

б) $1 - a + \frac{a^2 - 3}{3 + a}$;

в) $\frac{a^2 + b^2}{2a + b} + 2a - b$;

г) $6 + b - \frac{12b}{6 + b}$;

д) $\frac{x^2 + 4}{x - 2} - x - 2$;

е) $\frac{a^2 - 3}{a - 1} - a + 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем все его части к общему знаменателю $y$. Для этого домножим $2x$ и $-y$ на $\frac{y}{y}$:
$2x - y - \frac{2x - y^2}{y} = \frac{2x \cdot y}{y} - \frac{y \cdot y}{y} - \frac{2x - y^2}{y} = \frac{2xy - y^2 - (2x - y^2)}{y}$
Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{2xy - y^2 - 2x + y^2}{y} = \frac{2xy - 2x}{y}$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки в числителе:
$\frac{2x(y - 1)}{y}$

Ответ: $\frac{2x(y - 1)}{y}$

б)

Приведем все члены выражения к общему знаменателю $3+a$:
$1 - a + \frac{a^2 - 3}{3 + a} = \frac{1 \cdot (3 + a)}{3 + a} - \frac{a(3 + a)}{3 + a} + \frac{a^2 - 3}{3 + a} = \frac{(3 + a) - a(3 + a) + (a^2 - 3)}{3 + a}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{3 + a - 3a - a^2 + a^2 - 3}{3 + a} = \frac{-2a}{3 + a}$

Ответ: $\frac{-2a}{a + 3}$

в)

Общий знаменатель для данного выражения — $2a + b$. Приведем все члены к этому знаменателю:
$\frac{a^2 + b^2}{2a + b} + 2a - b = \frac{a^2 + b^2}{2a + b} + \frac{2a(2a + b)}{2a + b} - \frac{b(2a + b)}{2a + b} = \frac{a^2 + b^2 + 2a(2a + b) - b(2a + b)}{2a + b}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a^2 + b^2 + 4a^2 + 2ab - 2ab - b^2}{2a + b}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{5a^2}{2a + b}$

Ответ: $\frac{5a^2}{2a + b}$

г)

Приводим к общему знаменателю $6 + b$:
$6 + b - \frac{12b}{6 + b} = \frac{(6 + b)(6 + b)}{6 + b} - \frac{12b}{6 + b} = \frac{(6 + b)^2 - 12b}{6 + b}$
Раскроем квадрат суммы в числителе:
$\frac{36 + 12b + b^2 - 12b}{6 + b}$
Упростим, сократив $12b$ и $-12b$:
$\frac{36 + b^2}{6 + b}$

Ответ: $\frac{b^2 + 36}{b + 6}$

д)

Общий знаменатель $x - 2$. Представим $x+2$ как дробь со знаменателем $x-2$:
$\frac{x^2 + 4}{x - 2} - x - 2 = \frac{x^2 + 4}{x - 2} - (x + 2) = \frac{x^2 + 4}{x - 2} - \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}$
Объединим дроби и используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ в числителе:
$\frac{x^2 + 4 - (x^2 - 2^2)}{x - 2} = \frac{x^2 + 4 - (x^2 - 4)}{x - 2}$
Раскроем скобки и приведем подобные:
$\frac{x^2 + 4 - x^2 + 4}{x - 2} = \frac{8}{x - 2}$

Ответ: $\frac{8}{x - 2}$

е)

Приведем к общему знаменателю $a - 1$:
$\frac{a^2 - 3}{a - 1} - a + 1 = \frac{a^2 - 3}{a - 1} - (a - 1) = \frac{a^2 - 3}{a - 1} - \frac{(a - 1)(a - 1)}{a - 1} = \frac{a^2 - 3 - (a - 1)^2}{a - 1}$
Раскроем квадрат разности в числителе:
$\frac{a^2 - 3 - (a^2 - 2a + 1)}{a - 1} = \frac{a^2 - 3 - a^2 + 2a - 1}{a - 1}$
Упростим выражение в числителе:
$\frac{2a - 4}{a - 1}$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(a - 2)}{a - 1}$

Ответ: $\frac{2(a - 2)}{a - 1}$