Номер 1.63, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.63, страница 24.

Условие.

1.63 Упростите выражение:

а) $\frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} - \frac{2x^2}{1-x^2}$;

б) $\frac{1}{a+b} - \frac{2b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a-b}$;

в) $\frac{y-6}{y^2+3y} - \frac{y-3}{y} + \frac{y}{y+3}$;

г) $\frac{a(4a-b)}{3a-3b} - \frac{a}{3} - \frac{b^2}{a-b}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное выражение: $\frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} - \frac{2x^2}{1-x^2}$.
Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $1-x$, $1+x$ и $1-x^2$. Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, можно заметить, что $1-x^2 = (1-x)(1+x)$. Таким образом, общий знаменатель — это $1-x^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(1+x)$, для второй — $(1-x)$, третья дробь уже имеет нужный знаменатель.
$\frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} - \frac{2x^2}{1-x^2} = \frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)} + \frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)} - \frac{2x^2}{1-x^2} = \frac{(1+x)^2 + (1-x)^2 - 2x^2}{1-x^2}$.
Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$\frac{(1+2x+x^2) + (1-2x+x^2) - 2x^2}{1-x^2}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{1+2x+x^2+1-2x+x^2-2x^2}{1-x^2} = \frac{(1+1) + (2x-2x) + (x^2+x^2-2x^2)}{1-x^2} = \frac{2+0+0}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}$.
Ответ: $\frac{2}{1-x^2}$.

б) Исходное выражение: $\frac{1}{a+b} - \frac{2b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a-b}$.
Для упрощения выражения найдем общий знаменатель. Знаменатель второй дроби $a^2-b^2$ раскладывается на множители по формуле разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Это и будет общим знаменателем.
Приведем все дроби к знаменателю $a^2-b^2$:
$\frac{1 \cdot (a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{2b}{a^2-b^2} + \frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a-b - 2b + (a+b)}{a^2-b^2}$.
Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$\frac{a-b-2b+a+b}{a^2-b^2} = \frac{(a+a) + (-b-2b+b)}{a^2-b^2} = \frac{2a-2b}{a^2-b^2}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и разложим на множители знаменатель:
$\frac{2(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:
$\frac{2}{a+b}$.
Ответ: $\frac{2}{a+b}$.

в) Исходное выражение: $\frac{y-6}{y^2+3y} - \frac{y-3}{y} + \frac{y}{y+3}$.
Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби: $y^2+3y = y(y+3)$.
Выражение примет вид: $\frac{y-6}{y(y+3)} - \frac{y-3}{y} + \frac{y}{y+3}$.
Общим знаменателем для всех дробей будет $y(y+3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для второй дроби — $(y+3)$, для третьей — $y$.
$\frac{y-6}{y(y+3)} - \frac{(y-3)(y+3)}{y(y+3)} + \frac{y \cdot y}{y(y+3)} = \frac{(y-6) - (y^2-9) + y^2}{y(y+3)}$.
Упростим числитель, раскрыв скобки (обратим внимание на знак "минус" перед второй дробью):
$\frac{y-6 - y^2+9 + y^2}{y(y+3)}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(y) + (-y^2+y^2) + (-6+9)}{y(y+3)} = \frac{y+3}{y(y+3)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(y+3)$:
$\frac{1}{y}$.
Ответ: $\frac{1}{y}$.

г) Исходное выражение: $\frac{a(4a-b)}{3a-3b} - \frac{a}{3} - \frac{b^2}{a-b}$.
Разложим знаменатель первой дроби на множители: $3a-3b = 3(a-b)$.
Выражение примет вид: $\frac{a(4a-b)}{3(a-b)} - \frac{a}{3} - \frac{b^2}{a-b}$.
Общим знаменателем для всех дробей будет $3(a-b)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для второй дроби — $(a-b)$, для третьей — $3$.
$\frac{a(4a-b)}{3(a-b)} - \frac{a(a-b)}{3(a-b)} - \frac{b^2 \cdot 3}{3(a-b)} = \frac{a(4a-b) - a(a-b) - 3b^2}{3(a-b)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{4a^2-ab - (a^2-ab) - 3b^2}{3(a-b)} = \frac{4a^2-ab - a^2+ab - 3b^2}{3(a-b)}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(4a^2-a^2) + (-ab+ab) - 3b^2}{3(a-b)} = \frac{3a^2 - 3b^2}{3(a-b)}$.
Вынесем общий множитель 3 в числителе и применим формулу разности квадратов:
$\frac{3(a^2 - b^2)}{3(a-b)} = \frac{3(a-b)(a+b)}{3(a-b)}$.
Сократим дробь на общие множители $3$ и $(a-b)$:
$a+b$.
Ответ: $a+b$.