Номер 1.56, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.56, страница 22.

Условие.

1.56 a) $ \frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{2}{a + b}; $

б) $ \frac{c^2 + 25}{c^2 - 25} - \frac{c}{c + 5}; $

В) $ \frac{2}{3a + 2} + \frac{8}{9a^2 - 4}; $

Г) $ \frac{y^2}{y^2 - 2y + 1} - \frac{y}{y - 1}; $

Д) $ \frac{a + b}{a - b} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}; $

е) $ \frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} - \frac{m - n}{m + n}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{2}{a+b}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{2a}{(a-b)(a+b)} - \frac{2}{a+b}$

2. Общим знаменателем является выражение $(a-b)(a+b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a-b)$.

$\frac{2a}{(a-b)(a+b)} - \frac{2(a-b)}{(a+b)(a-b)}$

3. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители.

$\frac{2a - 2(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a - 2a + 2b}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b}{(a-b)(a+b)}$

4. Упрощенное выражение можно записать, свернув знаменатель обратно в формулу разности квадратов.

$\frac{2b}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{2b}{a^2-b^2}$

б)

Для решения примера $\frac{c^2+25}{c^2-25} - \frac{c}{c+5}$ приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание.

1. Знаменатель первой дроби $c^2-25$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $c^2-25 = (c-5)(c+5)$.

$\frac{c^2+25}{(c-5)(c+5)} - \frac{c}{c+5}$

2. Наименьший общий знаменатель для этих дробей — это $(c-5)(c+5)$. Домножим вторую дробь на множитель $(c-5)$.

$\frac{c^2+25}{(c-5)(c+5)} - \frac{c(c-5)}{(c-5)(c+5)}$

3. Теперь вычтем числители, оставив знаменатель прежним.

$\frac{c^2+25 - c(c-5)}{(c-5)(c+5)} = \frac{c^2+25 - c^2 + 5c}{(c-5)(c+5)} = \frac{5c+25}{(c-5)(c+5)}$

4. В числителе можно вынести за скобки общий множитель 5. Затем сократим дробь на общий множитель $(c+5)$.

$\frac{5(c+5)}{(c-5)(c+5)} = \frac{5}{c-5}$

Ответ: $\frac{5}{c-5}$

в)

Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{2}{3a+2} + \frac{8}{9a^2-4}$, найдем общий знаменатель.

1. Разложим знаменатель второй дроби $9a^2-4$ по формуле разности квадратов: $9a^2-4 = (3a)^2-2^2 = (3a-2)(3a+2)$.

$\frac{2}{3a+2} + \frac{8}{(3a-2)(3a+2)}$

2. Общий знаменатель — $(3a-2)(3a+2)$. Домножим первую дробь на недостающий множитель $(3a-2)$.

$\frac{2(3a-2)}{(3a-2)(3a+2)} + \frac{8}{(3a-2)(3a+2)}$

3. Сложим числители.

$\frac{2(3a-2) + 8}{(3a-2)(3a+2)} = \frac{6a - 4 + 8}{(3a-2)(3a+2)} = \frac{6a+4}{(3a-2)(3a+2)}$

4. В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки и сократим дробь на $(3a+2)$.

$\frac{2(3a+2)}{(3a-2)(3a+2)} = \frac{2}{3a-2}$

Ответ: $\frac{2}{3a-2}$

г)

Рассмотрим выражение $\frac{y^2}{y^2-2y+1} - \frac{y}{y-1}$.

1. Знаменатель первой дроби $y^2-2y+1$ является полным квадратом разности: $y^2-2y+1 = (y-1)^2$.

$\frac{y^2}{(y-1)^2} - \frac{y}{y-1}$

2. Общий знаменатель — $(y-1)^2$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(y-1)$.

$\frac{y^2}{(y-1)^2} - \frac{y(y-1)}{(y-1)^2}$

3. Выполним вычитание числителей.

$\frac{y^2 - y(y-1)}{(y-1)^2} = \frac{y^2 - y^2 + y}{(y-1)^2} = \frac{y}{(y-1)^2}$

Дробь дальнейшему упрощению не подлежит.

Ответ: $\frac{y}{(y-1)^2}$

д)

Выполним вычитание дробей $\frac{a+b}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$.

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a+b}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}$

2. Общий знаменатель — $(a-b)(a+b)$. Домножим первую дробь на $(a+b)$.

$\frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}$

3. Выполним вычитание. В числителе используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2 - a^2 - b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$

4. Запишем знаменатель в исходном виде.

$\frac{2ab}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{2ab}{a^2-b^2}$

е)

Решим пример $\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} - \frac{m-n}{m+n}$.

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.

$\frac{m^2+n^2}{(m-n)(m+n)} - \frac{m-n}{m+n}$

2. Общий знаменатель — $(m-n)(m+n)$. Домножим вторую дробь на множитель $(m-n)$.

$\frac{m^2+n^2}{(m-n)(m+n)} - \frac{(m-n)(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2+n^2}{(m-n)(m+n)} - \frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)}$

3. Выполним вычитание числителей. В числителе используем формулу квадрата разности $(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$.

$\frac{(m^2+n^2) - (m^2-2mn+n^2)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2+n^2 - m^2+2mn-n^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{2mn}{(m-n)(m+n)}$

4. Запишем знаменатель в свернутом виде.

$\frac{2mn}{m^2-n^2}$

Ответ: $\frac{2mn}{m^2-n^2}$