Номер 1.52, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.52, страница 21.

Условие.

Выполните действия; в качестве образца используйте пример 3 из текста (1.52—1.53).

1.52 а) $\frac{n-1}{2n} - \frac{n+1}{5n}$;

б) $\frac{2}{x} - \frac{1+y}{xy}$;

В) $\frac{1}{y^3} + \frac{1-y^2}{y^5}$;

Г) $\frac{1-xz}{xyz} - \frac{1-ax}{axy}$;

Д) $\frac{c+b}{bc^2} - \frac{c+b}{b^2c}$;

е) $\frac{1+b}{abc} + \frac{1-a}{a^2c}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для выполнения вычитания дробей $\frac{n-1}{2n} - \frac{n+1}{5n}$ их необходимо привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $2n$ и $5n$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них равен $10n$.
Найдём дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби: $\frac{10n}{2n} = 5$. Для второй дроби: $\frac{10n}{5n} = 2$.
Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:
$\frac{5 \cdot (n-1)}{10n} - \frac{2 \cdot (n+1)}{10n} = \frac{5(n-1) - 2(n+1)}{10n}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{5n - 5 - (2n + 2)}{10n} = \frac{5n - 5 - 2n - 2}{10n} = \frac{3n - 7}{10n}$.

Ответ: $\frac{3n - 7}{10n}$

б)

Для выполнения вычитания дробей $\frac{2}{x} - \frac{1+y}{xy}$ приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $x$ и $xy$. НОЗ для них равен $xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xy}{x} = y$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель, ее дополнительный множитель равен 1.
Выполним вычитание:
$\frac{2 \cdot y}{xy} - \frac{1+y}{xy} = \frac{2y - (1+y)}{xy}$.
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:
$\frac{2y - 1 - y}{xy} = \frac{y - 1}{xy}$.

Ответ: $\frac{y - 1}{xy}$

в)

Для выполнения сложения дробей $\frac{1}{y^3} + \frac{1-y^2}{y^5}$ приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $y^3$ и $y^5$. НОЗ для них равен $y^5$ (наибольшая степень переменной).
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{y^5}{y^3} = y^2$. Для второй дроби дополнительный множитель не требуется.
Выполним сложение:
$\frac{1 \cdot y^2}{y^5} + \frac{1-y^2}{y^5} = \frac{y^2 + (1-y^2)}{y^5}$.
Упростим числитель:
$\frac{y^2 + 1 - y^2}{y^5} = \frac{1}{y^5}$.

Ответ: $\frac{1}{y^5}$

г)

Для выполнения вычитания дробей $\frac{1-xz}{xyz} - \frac{1-ax}{axy}$ приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $xyz$ и $axy$. НОЗ для них равен $axyz$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{axyz}{xyz} = a$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{axyz}{axy} = z$.
Выполним вычитание:
$\frac{a(1-xz) - z(1-ax)}{axyz} = \frac{(a - axz) - (z - axz)}{axyz}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{a - axz - z + axz}{axyz} = \frac{a - z}{axyz}$.

Ответ: $\frac{a - z}{axyz}$

д)

Для выполнения вычитания дробей $\frac{c+b}{bc^2} - \frac{c+b}{b^2c}$ приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $bc^2$ и $b^2c$. НОЗ для них равен $b^2c^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{b^2c^2}{bc^2} = b$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{b^2c^2}{b^2c} = c$.
Выполним вычитание:
$\frac{b(c+b) - c(c+b)}{b^2c^2} = \frac{(bc + b^2) - (c^2 + bc)}{b^2c^2}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{bc + b^2 - c^2 - bc}{b^2c^2} = \frac{b^2 - c^2}{b^2c^2}$.

Ответ: $\frac{b^2 - c^2}{b^2c^2}$

е)

Для выполнения сложения дробей $\frac{1+b}{abc} + \frac{1-a}{a^2c}$ приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $abc$ и $a^2c$. НОЗ для них равен $a^2bc$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{a^2bc}{abc} = a$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a^2bc}{a^2c} = b$.
Выполним сложение:
$\frac{a(1+b) + b(1-a)}{a^2bc} = \frac{(a + ab) + (b - ab)}{a^2bc}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{a + ab + b - ab}{a^2bc} = \frac{a+b}{a^2bc}$.

Ответ: $\frac{a+b}{a^2bc}$