Номер 1.53, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.53, страница 21.

Условие.

1.53 а) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy}$;

б) $\frac{1}{b^3} - \frac{2}{b^2} + \frac{1}{b}$;

В) $\frac{x+y}{xy} - \frac{x+z}{xz} + \frac{y+z}{yz}$;

Г) $\frac{3x+1}{3x} - \frac{2y+1}{2y} + \frac{3x-y}{6xy}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $x$, $y$, $xy$. Наименьший общий знаменатель для этих выражений — это $xy$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $xy$:
Для первой дроби $\frac{1}{x}$ дополнительный множитель равен $y$: $\frac{1 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{y}{xy}$.
Для второй дроби $\frac{1}{y}$ дополнительный множитель равен $x$: $\frac{1 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{x}{xy}$.
Третья дробь $\frac{1}{xy}$ уже имеет нужный знаменатель.
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} + \frac{1}{xy} = \frac{y + x + 1}{xy}$.
Ответ: $\frac{x+y+1}{xy}$

б) Чтобы выполнить действия с дробями $\frac{1}{b^3} - \frac{2}{b^2} + \frac{1}{b}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $b^3$, $b^2$, $b$. Наименьший общий знаменатель — это $b^3$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $b^3$:
Первая дробь $\frac{1}{b^3}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для второй дроби $\frac{2}{b^2}$ дополнительный множитель равен $b$: $\frac{2 \cdot b}{b^2 \cdot b} = \frac{2b}{b^3}$.
Для третьей дроби $\frac{1}{b}$ дополнительный множитель равен $b^2$: $\frac{1 \cdot b^2}{b \cdot b^2} = \frac{b^2}{b^3}$.
Теперь выполним действия:
$\frac{1}{b^3} - \frac{2b}{b^3} + \frac{b^2}{b^3} = \frac{1 - 2b + b^2}{b^3}$.
Заметим, что числитель $b^2 - 2b + 1$ является полным квадратом разности $(b-1)^2$.
Окончательный вид дроби: $\frac{(b-1)^2}{b^3}$.
Ответ: $\frac{(b-1)^2}{b^3}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{x+y}{xy} - \frac{x+z}{xz} + \frac{y+z}{yz}$. Наименьшим общим знаменателем для дробей со знаменателями $xy$, $xz$, $yz$ будет $xyz$.
Приведем дроби к общему знаменателю $xyz$:
Для первой дроби $\frac{x+y}{xy}$ дополнительный множитель равен $z$: $\frac{(x+y) \cdot z}{xy \cdot z} = \frac{xz+yz}{xyz}$.
Для второй дроби $\frac{x+z}{xz}$ дополнительный множитель равен $y$: $\frac{(x+z) \cdot y}{xz \cdot y} = \frac{xy+zy}{xyz}$.
Для третьей дроби $\frac{y+z}{yz}$ дополнительный множитель равен $x$: $\frac{(y+z) \cdot x}{yz \cdot x} = \frac{xy+xz}{xyz}$.
Подставим полученные дроби в исходное выражение:
$\frac{xz+yz}{xyz} - \frac{xy+zy}{xyz} + \frac{xy+xz}{xyz} = \frac{(xz+yz) - (xy+zy) + (xy+xz)}{xyz}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{xz+yz-xy-zy+xy+xz}{xyz}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе: $(xz+xz) + (yz-yz) + (-xy+xy) = 2xz$.
Получаем дробь $\frac{2xz}{xyz}$.
Сократим дробь на $x$ и $z$: $\frac{2}{y}$.
Ответ: $\frac{2}{y}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{3x+1}{3x} - \frac{2y+1}{2y} + \frac{3x-y}{6xy}$. Наименьшим общим знаменателем для дробей со знаменателями $3x$, $2y$, $6xy$ будет $6xy$.
Приведем дроби к общему знаменателю $6xy$:
Для первой дроби $\frac{3x+1}{3x}$ дополнительный множитель равен $2y$: $\frac{(3x+1) \cdot 2y}{3x \cdot 2y} = \frac{6xy+2y}{6xy}$.
Для второй дроби $\frac{2y+1}{2y}$ дополнительный множитель равен $3x$: $\frac{(2y+1) \cdot 3x}{2y \cdot 3x} = \frac{6xy+3x}{6xy}$.
Третья дробь $\frac{3x-y}{6xy}$ уже имеет нужный знаменатель.
Подставим полученные дроби в исходное выражение:
$\frac{6xy+2y}{6xy} - \frac{6xy+3x}{6xy} + \frac{3x-y}{6xy} = \frac{(6xy+2y) - (6xy+3x) + (3x-y)}{6xy}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{6xy+2y - 6xy - 3x + 3x - y}{6xy}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе: $(6xy-6xy) + (2y-y) + (-3x+3x) = y$.
Получаем дробь $\frac{y}{6xy}$.
Сократим дробь на $y$: $\frac{1}{6x}$.
Ответ: $\frac{1}{6x}$