Номер 1.54, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.54, страница 21.

Условие.

Упростите выражение (1.54–1.56).

1.54 a) $\frac{4b}{3(b+3)} + \frac{4}{b+3};$

б) $\frac{x}{4(x-1)} - \frac{x}{6(x-1)};$

В) $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)};$

Г) $\frac{3x}{y(x+y)} - \frac{3y}{x(x+y)}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{4b}{3(b+3)} + \frac{4}{b+3}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{4b}{3(b+3)}$ и $\frac{4}{b+3}$ это $3(b+3)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 3:

$\frac{4}{b+3} = \frac{4 \cdot 3}{3(b+3)} = \frac{12}{3(b+3)}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{4b}{3(b+3)} + \frac{12}{3(b+3)} = \frac{4b+12}{3(b+3)}$

Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки:

$\frac{4(b+3)}{3(b+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+3)$:

$\frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

б) $\frac{x}{4(x-1)} - \frac{x}{6(x-1)}$

Для вычитания дробей найдем их общий знаменатель. Знаменатели $4(x-1)$ и $6(x-1)$. Наименьшее общее кратное для коэффициентов 4 и 6 равно 12. Таким образом, общий знаменатель равен $12(x-1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби равен 3, а для второй — 2:

$\frac{x \cdot 3}{4(x-1) \cdot 3} - \frac{x \cdot 2}{6(x-1) \cdot 2} = \frac{3x}{12(x-1)} - \frac{2x}{12(x-1)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{3x-2x}{12(x-1)} = \frac{x}{12(x-1)}$

Ответ: $\frac{x}{12(x-1)}$

в) $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $a(a+b)$ и $b(a+b)$ это $ab(a+b)$.

Домножим первую дробь на $b$, а вторую на $a$:

$\frac{1 \cdot b}{a(a+b) \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{b}{ab(a+b)} + \frac{a}{ab(a+b)}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{b+a}{ab(a+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$:

$\frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

г) $\frac{3x}{y(x+y)} - \frac{3y}{x(x+y)}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Для знаменателей $y(x+y)$ и $x(x+y)$ общий знаменатель будет $xy(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $y$:

$\frac{3x \cdot x}{y(x+y) \cdot x} - \frac{3y \cdot y}{x(x+y) \cdot y} = \frac{3x^2}{xy(x+y)} - \frac{3y^2}{xy(x+y)}$

Выполним вычитание:

$\frac{3x^2 - 3y^2}{xy(x+y)}$

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2) = 3(x-y)(x+y)$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{3(x-y)(x+y)}{xy(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$:

$\frac{3(x-y)}{xy}$

Ответ: $\frac{3(x-y)}{xy}$