Номер 1.48, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.48, страница 20.

Условие.

1.48 Приведите дроби к общему знаменателю:

а) $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{5}$;

б) $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{9}$;

в) $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$;

г) $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{3a}$;

д) $\frac{c}{ab}$ и $\frac{a}{bc}$;

е) $\frac{1}{x^2y}$ и $\frac{1}{xy^2}$;

ж) $\frac{c}{a^2}$, $\frac{1}{b^2}$, $\frac{c^2}{ab}$;

з) $\frac{c-x}{c+x}$ и $\frac{cx}{c-x}$;

и) $\frac{a-b}{a^2+ab}$ и $\frac{a^2+b}{b^2+ab}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Даны дроби $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{5}$.

Знаменатели дробей — числа 8 и 5. Они являются взаимно простыми, поэтому их наименьшее общее кратное (которое будет общим знаменателем) равно их произведению: $8 \times 5 = 40$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $40 \div 8 = 5$.

$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{5}{40}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $40 \div 5 = 8$.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{8}{40}$.

Ответ: $\frac{5}{40}$ и $\frac{8}{40}$.

---

б) Даны дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{9}$.

Находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6 и 9. Разложим их на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$.

$НОК(6, 9) = 2 \cdot 3^2 = 18$. Общий знаменатель — 18.

Дополнительный множитель для первой дроби: $18 \div 6 = 3$.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $18 \div 9 = 2$.

$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{2}{18}$.

Ответ: $\frac{3}{18}$ и $\frac{2}{18}$.

---

в) Даны дроби $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

Знаменатели дробей — переменные $a$ и $b$. Их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ab$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ab \div a = b$.

$\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{b}{ab}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ab \div b = a$.

$\frac{1}{b} = \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{a}{ab}$.

Ответ: $\frac{b}{ab}$ и $\frac{a}{ab}$.

---

г) Даны дроби $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{3a}$.

Знаменатели дробей — $a$ и $3a$. Наименьший общий знаменатель — это $3a$, так как $3a$ делится и на $a$, и на $3a$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $3a \div a = 3$.

$\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot 3}{a \cdot 3} = \frac{3}{3a}$.

Вторая дробь $\frac{1}{3a}$ уже имеет нужный знаменатель.

Ответ: $\frac{3}{3a}$ и $\frac{1}{3a}$.

---

д) Даны дроби $\frac{c}{ab}$ и $\frac{a}{bc}$.

Знаменатели дробей — $ab$ и $bc$. Чтобы найти общий знаменатель, берем все переменные ($a, b, c$) в их наивысших степенях. Общий знаменатель будет $abc$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $abc \div ab = c$.

$\frac{c}{ab} = \frac{c \cdot c}{ab \cdot c} = \frac{c^2}{abc}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $abc \div bc = a$.

$\frac{a}{bc} = \frac{a \cdot a}{bc \cdot a} = \frac{a^2}{abc}$.

Ответ: $\frac{c^2}{abc}$ и $\frac{a^2}{abc}$.

---

е) Даны дроби $\frac{1}{x^2y}$ и $\frac{1}{xy^2}$.

Знаменатели дробей — $x^2y$ и $xy^2$. Общий знаменатель должен содержать каждую переменную в наибольшей степени, встречающейся в знаменателях. Таким образом, общий знаменатель — $x^2y^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $x^2y^2 \div x^2y = y$.

$\frac{1}{x^2y} = \frac{1 \cdot y}{x^2y \cdot y} = \frac{y}{x^2y^2}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $x^2y^2 \div xy^2 = x$.

$\frac{1}{xy^2} = \frac{1 \cdot x}{xy^2 \cdot x} = \frac{x}{x^2y^2}$.

Ответ: $\frac{y}{x^2y^2}$ и $\frac{x}{x^2y^2}$.

---

ж) Даны дроби $\frac{c}{a^2}$, $\frac{1}{b^2}$ и $\frac{c^2}{ab}$.

Знаменатели дробей — $a^2$, $b^2$ и $ab$. Общий знаменатель должен содержать каждую переменную в наибольшей степени. Наибольшая степень для $a$ — это 2, для $b$ — это 2. Общий знаменатель — $a^2b^2$.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{c}{a^2}$: $a^2b^2 \div a^2 = b^2$.

$\frac{c}{a^2} = \frac{c \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} = \frac{cb^2}{a^2b^2}$.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{b^2}$: $a^2b^2 \div b^2 = a^2$.

$\frac{1}{b^2} = \frac{1 \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} = \frac{a^2}{a^2b^2}$.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{c^2}{ab}$: $a^2b^2 \div ab = ab$.

$\frac{c^2}{ab} = \frac{c^2 \cdot ab}{ab \cdot ab} = \frac{abc^2}{a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{cb^2}{a^2b^2}$, $\frac{a^2}{a^2b^2}$ и $\frac{abc^2}{a^2b^2}$.

---

з) Даны дроби $\frac{c-x}{c+x}$ и $\frac{cx}{c-x}$.

Знаменатели дробей — выражения $(c+x)$ и $(c-x)$. Их наименьший общий знаменатель — это их произведение: $(c+x)(c-x) = c^2 - x^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(c^2-x^2) \div (c+x) = c-x$.

$\frac{c-x}{c+x} = \frac{(c-x)(c-x)}{(c+x)(c-x)} = \frac{(c-x)^2}{c^2-x^2}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $(c^2-x^2) \div (c-x) = c+x$.

$\frac{cx}{c-x} = \frac{cx(c+x)}{(c-x)(c+x)} = \frac{cx(c+x)}{c^2-x^2}$.

Ответ: $\frac{(c-x)^2}{c^2-x^2}$ и $\frac{cx(c+x)}{c^2-x^2}$.

---

и) Даны дроби $\frac{a-b}{a^2+ab}$ и $\frac{a^2+b}{b^2+ab}$.

Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $a^2+ab = a(a+b)$.

Знаменатель второй дроби: $b^2+ab = b(b+a) = b(a+b)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $a(a+b)$ и $b(a+b)$ — это произведение всех уникальных множителей: $ab(a+b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{ab(a+b)}{a(a+b)} = b$.

$\frac{a-b}{a^2+ab} = \frac{a-b}{a(a+b)} = \frac{(a-b) \cdot b}{a(a+b) \cdot b} = \frac{b(a-b)}{ab(a+b)}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{ab(a+b)}{b(a+b)} = a$.

$\frac{a^2+b}{b^2+ab} = \frac{a^2+b}{b(a+b)} = \frac{(a^2+b) \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{a(a^2+b)}{ab(a+b)}$.

Ответ: $\frac{b(a-b)}{ab(a+b)}$ и $\frac{a(a^2+b)}{ab(a+b)}$.