Номер 1.46, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.46, страница 20.

Условие.

1.46 а) $ \frac{ax}{x+y} + \frac{ay}{x+y}; $

б) $ \frac{a}{a-1} - \frac{1}{a-1}; $

В) $ \frac{m^2}{m+n} - \frac{n^2}{m+n}; $

Г) $ \frac{c}{c^2-9} + \frac{3}{c^2-9}; $

Д) $ \frac{2}{1-x^2} - \frac{2x}{1-x^2}; $

е) $ \frac{5p}{p^2-q^2} + \frac{5q}{p^2-q^2}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{ax}{x+y} + \frac{ay}{x+y} = \frac{ax + ay}{x+y}$

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки.

$\frac{a(x+y)}{x+y}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$, при условии, что $x+y \neq 0$.

$\frac{a(x+y)}{x+y} = a$

Ответ: $a$

б)

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{a}{a-1} - \frac{1}{a-1} = \frac{a - 1}{a-1}$

Так как числитель и знаменатель равны (и не равны нулю, т.е. $a \neq 1$), то значение дроби равно 1.

$\frac{a - 1}{a-1} = 1$

Ответ: $1$

в)

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем $m+n$.

$\frac{m^2}{m+n} - \frac{n^2}{m+n} = \frac{m^2 - n^2}{m+n}$

Числитель представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{(m-n)(m+n)}{m+n}$

Сократим дробь на общий множитель $(m+n)$, при условии, что $m+n \neq 0$.

$\frac{(m-n)(m+n)}{m+n} = m-n$

Ответ: $m-n$

г)

Выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем $c^2-9$.

$\frac{c}{c^2-9} + \frac{3}{c^2-9} = \frac{c+3}{c^2-9}$

Знаменатель является разностью квадратов $c^2 - 3^2$. Разложим его на множители.

$\frac{c+3}{(c-3)(c+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c+3)$, при условии, что $c+3 \neq 0$.

$\frac{c+3}{(c-3)(c+3)} = \frac{1}{c-3}$

Ответ: $\frac{1}{c-3}$

д)

Выполним вычитание дробей с общим знаменателем $1-x^2$.

$\frac{2}{1-x^2} - \frac{2x}{1-x^2} = \frac{2-2x}{1-x^2}$

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки. Знаменатель разложим на множители как разность квадратов $1^2 - x^2$.

$\frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1-x)$, при условии, что $1-x \neq 0$.

$\frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{2}{1+x}$

Ответ: $\frac{2}{1+x}$

е)

Выполним сложение дробей с общим знаменателем $p^2-q^2$.

$\frac{5p}{p^2-q^2} + \frac{5q}{p^2-q^2} = \frac{5p+5q}{p^2-q^2}$

В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки. Знаменатель разложим на множители как разность квадратов.

$\frac{5(p+q)}{(p-q)(p+q)}$

Сократим дробь на общий множитель $(p+q)$, при условии, что $p+q \neq 0$.

$\frac{5(p+q)}{(p-q)(p+q)} = \frac{5}{p-q}$

Ответ: $\frac{5}{p-q}$