Номер 1.51, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.51, страница 21.

Условие.

1.51 Найдите сумму и разность дробей:

а) $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{1}{a+b}$;

б) $\frac{a+1}{a-1}$ и $\frac{a-1}{a+1}$;

в) $\frac{p-q}{p+q}$ и $\frac{p+q}{p-q}$;

г) $\frac{m}{m+4}$ и $\frac{m}{m-4}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы найти сумму и разность дробей $ \frac{1}{a-b} $ и $ \frac{1}{a+b} $, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению их знаменателей: $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $.

Сумма:

$ \frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b} = \frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b+a-b}{a^2-b^2} = \frac{2a}{a^2-b^2} $.

Разность:

$ \frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} = \frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)-(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{a+b-a+b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{a^2-b^2} $.

Ответ: Сумма: $ \frac{2a}{a^2-b^2} $; Разность: $ \frac{2b}{a^2-b^2} $.

б)

Чтобы найти сумму и разность дробей $ \frac{a+1}{a-1} $ и $ \frac{a-1}{a+1} $, приведем их к общему знаменателю $ (a-1)(a+1) = a^2-1 $.

Сумма:

$ \frac{a+1}{a-1} + \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)^2+(a-1)^2}{a^2-1} = \frac{(a^2+2a+1)+(a^2-2a+1)}{a^2-1} = \frac{2a^2+2}{a^2-1} = \frac{2(a^2+1)}{a^2-1} $.

Разность:

$ \frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{a^2-1} = \frac{(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)}{a^2-1} = \frac{4a}{a^2-1} $.

Ответ: Сумма: $ \frac{2(a^2+1)}{a^2-1} $; Разность: $ \frac{4a}{a^2-1} $.

в)

Чтобы найти сумму и разность дробей $ \frac{p-q}{p+q} $ и $ \frac{p+q}{p-q} $, приведем их к общему знаменателю $ (p+q)(p-q) = p^2-q^2 $.

Сумма:

$ \frac{p-q}{p+q} + \frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)(p-q)}{(p+q)(p-q)} + \frac{(p+q)(p+q)}{(p+q)(p-q)} = \frac{(p-q)^2+(p+q)^2}{p^2-q^2} = \frac{(p^2-2pq+q^2)+(p^2+2pq+q^2)}{p^2-q^2} = \frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2} = \frac{2(p^2+q^2)}{p^2-q^2} $.

Разность:

$ \frac{p-q}{p+q} - \frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)^2}{(p+q)(p-q)} - \frac{(p+q)^2}{(p+q)(p-q)} = \frac{(p-q)^2-(p+q)^2}{p^2-q^2} = \frac{(p^2-2pq+q^2)-(p^2+2pq+q^2)}{p^2-q^2} = \frac{-4pq}{p^2-q^2} $.

Ответ: Сумма: $ \frac{2(p^2+q^2)}{p^2-q^2} $; Разность: $ \frac{-4pq}{p^2-q^2} $.

г)

Чтобы найти сумму и разность дробей $ \frac{m}{m+4} $ и $ \frac{m}{m-4} $, приведем их к общему знаменателю $ (m+4)(m-4) = m^2-16 $.

Сумма:

$ \frac{m}{m+4} + \frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)}{(m+4)(m-4)} + \frac{m(m+4)}{(m+4)(m-4)} = \frac{m(m-4)+m(m+4)}{m^2-16} = \frac{m^2-4m+m^2+4m}{m^2-16} = \frac{2m^2}{m^2-16} $.

Разность:

$ \frac{m}{m+4} - \frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)}{(m+4)(m-4)} - \frac{m(m+4)}{(m+4)(m-4)} = \frac{m(m-4)-m(m+4)}{m^2-16} = \frac{m^2-4m-(m^2+4m)}{m^2-16} = \frac{m^2-4m-m^2-4m}{m^2-16} = \frac{-8m}{m^2-16} $.

Ответ: Сумма: $ \frac{2m^2}{m^2-16} $; Разность: $ \frac{-8m}{m^2-16} $.