Номер 2, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 20.

Условие.

Прокомментируйте каждый шаг преобразования суммы и разности дробей в примере 2 (фрагмент 2).

Решение 4.

Поскольку конкретный "пример 2 (фрагмент 2)" не был предоставлен, рассмотрим шаги преобразования на типичном примере сложения и вычитания алгебраических дробей.

Пример: Упростить выражение $ \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y} - \frac{2xy}{x^2-y^2} $

Шаг 1. Разложение знаменателей на множители

Первым делом необходимо разложить знаменатели всех дробей на простейшие множители, чтобы найти общий знаменатель.

• Знаменатель первой дроби $x-y$ и второй дроби $x+y$ уже являются простыми.
• Знаменатель третьей дроби $x^2-y^2$ представляет собой разность квадратов и раскладывается по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Таким образом, $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

После разложения исходное выражение принимает вид:
$ \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y} - \frac{2xy}{(x-y)(x+y)} $

Шаг 2. Нахождение наименьшего общего знаменателя (НОЗ)

Наименьший общий знаменатель — это произведение всех уникальных множителей, входящих в состав знаменателей, взятых в наивысшей встречающейся степени. В нашем случае это произведение $(x-y)$ и $(x+y)$.
НОЗ = $(x-y)(x+y)$.

Шаг 3. Нахождение дополнительных множителей для каждой дроби

Дополнительный множитель для каждой дроби находится путем деления НОЗ на знаменатель этой дроби.

• Для дроби $\frac{x}{x-y}$ дополнительный множитель: $\frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y$.
• Для дроби $\frac{y}{x+y}$ дополнительный множитель: $\frac{(x-y)(x+y)}{x+y} = x-y$.
• Для дроби $\frac{2xy}{(x-y)(x+y)}$ знаменатель совпадает с НОЗ, поэтому дополнительный множитель равен 1.

Шаг 4. Приведение дробей к общему знаменателю

Числитель и знаменатель каждой дроби умножаются на ее дополнительный множитель. На практике это сводится к умножению числителя на дополнительный множитель и записи результата над общим знаменателем.
$ \frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)} + \frac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{2xy}{(x-y)(x+y)} $

Шаг 5. Сложение и вычитание числителей

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, можно объединить их числители, выполняя соответствующие операции сложения и вычитания.
$ \frac{x(x+y) + y(x-y) - 2xy}{(x-y)(x+y)} $

Шаг 6. Упрощение числителя

Следующий шаг — раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые.
$ x(x+y) + y(x-y) - 2xy = x^2 + xy + yx - y^2 - 2xy $
Приводим подобные:
$ x^2 + (xy+xy) - y^2 - 2xy = x^2 + 2xy - y^2 - 2xy = x^2 - y^2 $
Таким образом, выражение упрощается до:
$ \frac{x^2 - y^2}{(x-y)(x+y)} $

Шаг 7. Сокращение итоговой дроби

На последнем шаге проверяем, можно ли сократить полученную дробь. Для этого раскладываем числитель на множители, если это возможно. В данном случае числитель $x^2-y^2$ равен $(x-y)(x+y)$.
$ \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} $
Сокращаем общие множители $(x-y)$ и $(x+y)$ в числителе и знаменателе.
При условии, что $x \neq y$ и $x \neq -y$ (область допустимых значений), результат равен 1.

Ответ: $1$.