Номер 1.42, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.42, страница 17.

Условие.

1.42 a) $\frac{a(x-y) - b(y-x)}{(a-b)(y-x)};$

б) $\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1) - n(n-1)};$

В) $\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)};$

Г) $\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное выражение: $\frac{a(x-y) - b(y-x)}{(a-b)(y-x)}$.
Для упрощения этого выражения заметим, что $y-x = -(x-y)$. Используем это свойство, чтобы привести множители к общему виду.
Преобразуем числитель: $a(x-y) - b(y-x) = a(x-y) - b(-(x-y)) = a(x-y) + b(x-y)$.
Теперь можно вынести общий множитель $(x-y)$ за скобки: $(a+b)(x-y)$.
Преобразуем знаменатель, используя то же свойство: $(a-b)(y-x) = (a-b)(-(x-y)) = -(a-b)(x-y)$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{(a+b)(x-y)}{-(a-b)(x-y)}$.
Сократим общий множитель $(x-y)$ (при условии, что $x \neq y$): $\frac{a+b}{-(a-b)} = -\frac{a+b}{a-b}$.
Ответ: $-\frac{a+b}{a-b}$

б)

Исходное выражение: $\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1) - n(n-1)}$.
Сначала упростим знаменатель, вынеся общий множитель $(n-1)$ за скобки: $2(n-1) - n(n-1) = (2-n)(n-1)$.
Теперь рассмотрим числитель. Заметим, что $1-n = -(n-1)$. Тогда числитель можно записать как: $(1-n)(n-2) = -(n-1)(n-2)$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь: $\frac{-(n-1)(n-2)}{(2-n)(n-1)}$.
Также заметим, что $n-2 = -(2-n)$. Подставим это в числитель: $\frac{-(n-1)(-(2-n))}{(2-n)(n-1)} = \frac{(n-1)(2-n)}{(2-n)(n-1)}$.
Теперь числитель и знаменатель равны. Сократив дробь (при условии, что $n \neq 1$ и $n \neq 2$), получим $1$.
Ответ: $1$

в)

Исходное выражение: $\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)}$.
Преобразуем каждый множитель в знаменателе, вынеся за скобки $-1$:
$a-p = -(p-a)$
$b-p = -(p-b)$
$c-p = -(p-c)$
Тогда произведение в знаменателе будет равно: $(a-p)(b-p)(c-p) = (-(p-a))(-(p-b))(-(p-c)) = (-1)^3 (p-a)(p-b)(p-c) = -(p-a)(p-b)(p-c)$.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби: $\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{-(p-a)(p-b)(p-c)}$.
Сократим дробь на общее выражение $(p-a)(p-b)(p-c)$ (при условии, что $p$ не равно $a$, $b$ или $c$): $\frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$

г)

Исходное выражение: $\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)}$.
Рассмотрим множитель $(c-a-b)$ в знаменателе. Вынесем $-1$ за скобки: $c-a-b = -( -c+a+b ) = -(a+b-c)$.
Теперь подставим это преобразование в исходную дробь: $\frac{(a+b-c)(a-b)}{-(a+b-c)(a-c)}$.
Сократим общий множитель $(a+b-c)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a+b-c \neq 0$): $\frac{a-b}{-(a-c)}$.
Чтобы избавиться от знака минус перед скобкой в знаменателе, внесем его в скобку: $\frac{a-b}{c-a}$.
Ответ: $\frac{a-b}{c-a}$