Номер 1.39, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.39, страница 16.

Условие.

1.39 Выпишите выражения, равные дроби $ \frac{p+a}{p-b} $:

$ \frac{p+a}{b-p} $, $ -\frac{-p-a}{p-b} $, $ -\frac{-p-a}{b-p} $, $ -\frac{p+a}{b-p} $,

$ -\frac{p-a}{p-b} $, $ -\frac{-p-a}{b-p} $, $ -\frac{-p-a}{b-p} $, $ \frac{p-a}{b-p} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений равны дроби $\frac{p+a}{p-b}$, необходимо преобразовать каждое из них, используя основные свойства алгебраических дробей. Основное правило, которое мы будем применять, гласит, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число (в частности, на $-1$). Это означает, что $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$. Также полезно помнить, что знак минус перед дробью можно внести в числитель или в знаменатель: $-\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$.

Проанализируем каждое выражение поочередно.

$\frac{p+a}{b-p}$

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки $-1$: $b-p = -(p-b)$. Подставив это в дробь, получим: $\frac{p+a}{-(p-b)} = -\frac{p+a}{p-b}$. Это выражение не равно исходному.
Ответ: не равно.

$-\frac{-p-a}{p-b}$

Вынесем знак минус в числителе за скобки: $-p-a = -(p+a)$. Выражение примет вид: $-\frac{-(p+a)}{p-b}$. Два знака минус (один перед дробью, другой в числителе) взаимно уничтожаются, и мы получаем $\frac{p+a}{p-b}$. Это выражение равно исходному.
Ответ: равно.

$\frac{-p-a}{p-b}$

Вынесем знак минус в числителе за скобки: $-p-a = -(p+a)$. Получим дробь $\frac{-(p+a)}{p-b}$, что равносильно $-\frac{p+a}{p-b}$. Это выражение не равно исходному.
Ответ: не равно.

$-\frac{p+a}{b-p}$

Преобразуем знаменатель: $b-p = -(p-b)$. Выражение примет вид: $-\frac{p+a}{-(p-b)}$. Два знака минус (один перед дробью, другой в знаменателе) взаимно уничтожаются, и мы получаем $\frac{p+a}{p-b}$. Это выражение равно исходному.
Ответ: равно.

$-\frac{p-a}{p-b}$

В данном выражении числитель $p-a$ не тождественен числителю $p+a$ (в общем случае). Из-за знака минус перед дробью и отличного числителя выражение не равно исходному.
Ответ: не равно.

$-\frac{-p-a}{b-p}$

Преобразуем и числитель, и знаменатель: $-p-a = -(p+a)$ и $b-p = -(p-b)$. Выражение примет вид: $-\frac{-(p+a)}{-(p-b)}$. Минусы в числителе и знаменателе сокращаются, но минус перед дробью остается: $-\frac{p+a}{p-b}$. Это выражение не равно исходному.
Ответ: не равно.

$\frac{-p-a}{b-p}$

Преобразуем и числитель, и знаменатель: $-p-a = -(p+a)$ и $b-p = -(p-b)$. Выражение примет вид: $\frac{-(p+a)}{-(p-b)}$. Минусы в числителе и знаменателе сокращаются (так как $\frac{-1}{-1}=1$), и мы получаем $\frac{p+a}{p-b}$. Это выражение равно исходному.
Ответ: равно.

$\frac{p-a}{b-p}$

Числитель $p-a$ не равен $p+a$ (в общем случае). Преобразуем знаменатель: $b-p = -(p-b)$. Тогда дробь равна $\frac{p-a}{-(p-b)} = -\frac{p-a}{p-b}$. Это выражение не равно исходному.
Ответ: не равно.

Таким образом, проанализировав все варианты, мы можем выписать выражения, равные дроби $\frac{p+a}{p-b}$:

$-\frac{-p-a}{p-b}$

$-\frac{p+a}{b-p}$

$\frac{-p-a}{b-p}$