Номер 1.60, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.60, страница 23.

Условие.

1.60 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

а) Два восьмиклассника при выполнении самостоятельной работы получили разные ответы на задание: «Представьте выражение $\frac{a}{b} + a$ в виде дроби». Ответ первого $\frac{2a}{b}$, ответ второго $\frac{a + ab}{b}$. Кто из них прав, а кто ошибся и в чём его ошибка?

б) Учитель предложил представить выражение $\frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1$ в виде дроби и упростить полученную дробь. Четверо учащихся начали преобразование по-разному, и каждый уверял, что он прав. Разберитесь, в каких случаях преобразования верные, а в каких нет. Доведите верные решения до конца.

1) $\frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{5a}{1} + \frac{1}{1} = $

2) $\frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2 - 5a + 1}{3a - 2} = $

3) $\frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a - 2} - (5a - 1) = \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{5a - 1}{1} = $

4) $\frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a - 2} - (5a + 1) = \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{5a + 1}{1} = $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для того чтобы представить выражение $\frac{a}{b} + a$ в виде дроби, необходимо привести слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для дроби $\frac{a}{b}$ и числа $a$ (которое можно представить как дробь $\frac{a}{1}$) будет $b$. Для этого второе слагаемое $a$ нужно домножить на знаменатель $b$:

$\frac{a}{b} + a = \frac{a}{b} + \frac{a}{1} = \frac{a}{b} + \frac{a \cdot b}{b} = \frac{a + ab}{b}$

Сравнивая полученный результат с ответами учеников, видим, что второй ученик, получивший ответ $\frac{a + ab}{b}$, прав.

Первый ученик, получивший ответ $\frac{2a}{b}$, ошибся. Его ошибка заключается в том, что он сложил числитель $a$ с числом $a$, не приведя их к общему знаменателю. Вероятно, он ошибочно посчитал, что $a = \frac{a}{b}$, что неверно.

Ответ: Прав второй восьмиклассник. Ошибка первого в неверном приведении к общему знаменателю: он не умножил слагаемое $a$ на знаменатель $b$.

б)

Разберем каждый из четырех способов преобразования выражения $\frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1$.

1) Преобразование $\frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a}{1} + \frac{1}{1}$ — верное.
Это корректный первый шаг, где каждое слагаемое представлено в виде дроби для последующего приведения к общему знаменателю $3a-2$. Доведем решение до конца:
$\frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a(3a-2)}{3a-2} + \frac{1(3a-2)}{3a-2} = \frac{15a^2 - 5a(3a-2) + (3a-2)}{3a-2} = \frac{15a^2 - 15a^2 + 10a + 3a - 2}{3a-2} = \frac{13a - 2}{3a-2}$
При условии $3a-2 \neq 0$ (т.е. $a \neq \frac{2}{3}$), дробь можно сократить:
$\frac{13a - 2}{3a-2} = 1$

2) Преобразование $\frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2 - 5a + 1}{3a-2}$ — неверное.
Ошибка в том, что слагаемые $-5a$ и $+1$ были внесены в числитель без домножения на знаменатель $3a-2$. Это нарушение правила сложения/вычитания дробей.

3) Преобразование $\frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a-2} - (5a-1)$ — верное.
Здесь правильно вынесен знак минус за скобки, так как $-5a+1 = -(5a-1)$. Доведем решение до конца:
$\frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a-1}{1} = \frac{15a^2 - (5a-1)(3a-2)}{3a-2} = \frac{15a^2 - (15a^2 - 10a - 3a + 2)}{3a-2} = \frac{15a^2 - 15a^2 + 13a - 2}{3a-2} = \frac{13a-2}{3a-2}$
При $a \neq \frac{2}{3}$:
$\frac{13a - 2}{3a-2} = 1$

4) Преобразование $\frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a-2} - (5a+1)$ — неверное.
Ошибка в вынесении знака минус за скобки: $-5a+1 \neq -(5a+1)$, поскольку $-(5a+1) = -5a-1$.

Ответ: Преобразования в случаях 1) и 3) верные. Преобразования в случаях 2) и 4) неверные. Результат упрощения выражения: $1$ (при $a \neq \frac{2}{3}$).