Номер 1.64, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.64, страница 24.

Условие.

1.64 РАССУЖДАЕМ

а) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью $\frac{c-c^2}{c^3+2c}$, чтобы получить $\frac{1}{c^2+2}$. Проверьте результат.

б) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью $\frac{3}{x+3}$, чтобы получить $\frac{3x^2}{x^3+27}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы найти искомую дробь, нужно из дроби, которая должна получиться в результате, вычесть данную дробь. Обозначим искомую дробь через $X$. Тогда: $$ X = \frac{1}{c^2+2} - \frac{c-c^2}{c^3+2c} $$ Упростим знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель $c$ за скобки: $$ c^3+2c = c(c^2+2) $$ Теперь выражение для $X$ выглядит так: $$ X = \frac{1}{c^2+2} - \frac{c-c^2}{c(c^2+2)} $$ Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю $c(c^2+2)$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $c$: $$ X = \frac{1 \cdot c}{(c^2+2) \cdot c} - \frac{c-c^2}{c(c^2+2)} = \frac{c}{c(c^2+2)} - \frac{c-c^2}{c(c^2+2)} $$ Теперь вычтем числители, оставив знаменатель прежним: $$ X = \frac{c - (c-c^2)}{c(c^2+2)} = \frac{c - c + c^2}{c(c^2+2)} = \frac{c^2}{c(c^2+2)} $$ Сократим полученную дробь на $c$: $$ X = \frac{c}{c^2+2} $$ Проверка результата: Сложим исходную дробь с найденной: $$ \frac{c-c^2}{c^3+2c} + \frac{c}{c^2+2} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $c(c^2+2)$: $$ \frac{c-c^2}{c(c^2+2)} + \frac{c \cdot c}{c(c^2+2)} = \frac{c-c^2+c^2}{c(c^2+2)} $$ Упростим числитель: $$ \frac{c}{c(c^2+2)} $$ Сократим дробь на $c$, чтобы получить конечный результат: $$ \frac{1}{c^2+2} $$ Результат совпадает с условием. Проверка выполнена успешно.

Ответ: $\frac{c}{c^2+2}$.

б)

Аналогично пункту а), чтобы найти искомую дробь, нужно из конечной дроби вычесть начальную. Обозначим искомую дробь через $Y$: $$ Y = \frac{3x^2}{x^3+27} - \frac{3}{x+3} $$ Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $$ x^3+27 = x^3+3^3 = (x+3)(x^2-3x+9) $$ Подставим разложение в выражение для $Y$: $$ Y = \frac{3x^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} - \frac{3}{x+3} $$ Общий знаменатель для этих дробей — $(x+3)(x^2-3x+9)$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на множитель $(x^2-3x+9)$: $$ Y = \frac{3x^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} - \frac{3(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)} $$ Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $$ Y = \frac{3x^2 - 3(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ Y = \frac{3x^2 - 3x^2 + 9x - 27}{(x+3)(x^2-3x+9)} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ Y = \frac{9x - 27}{(x+3)(x^2-3x+9)} $$ Можно вынести общий множитель 9 в числителе и свернуть знаменатель обратно: $$ Y = \frac{9(x-3)}{x^3+27} $$

Ответ: $\frac{9(x-3)}{x^3+27}$.