Номер 1.68, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый

ISBN: 978-5-09-106180-2

Популярные ГДЗ в 8 классе

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.68, страница 25.

№1.68 (с. 25)
Условие. №1.68 (с. 25)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 25, номер 1.68, Условие

1.68 a) $\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b}$;

Б) $\frac{1}{x+y} - \frac{1}{y-x} - \frac{2y}{x^2-y^2}$;

В) $\frac{a}{4-a^2} - \frac{2+a}{2a-4} - \frac{2-a}{4+2a}$;

Г) $\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{x+1}$.

Решение 2. №1.68 (с. 25)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 25, номер 1.68, Решение 2 Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 25, номер 1.68, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 25, номер 1.68, Решение 2 (продолжение 3) Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 25, номер 1.68, Решение 2 (продолжение 4)
Решение 3. №1.68 (с. 25)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 25, номер 1.68, Решение 3
Решение 4. №1.68 (с. 25)

а) Чтобы упростить выражение $\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b}$, приведем дроби к общему знаменателю.
Заметим, что знаменатель второй дроби $b^2-a^2 = -(a^2-b^2) = -(a-b)(a+b)$. Используем это для преобразования выражения:
$\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{-(a-b)(a+b)} + \frac{a}{a+b} = \frac{a}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a}{a+b}$
Общий знаменатель для всех дробей — это $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$
Теперь сложим и вычтем числители:
$\frac{a(a+b) - (a^2+b^2) + a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab - a^2 - b^2 + a^2 - ab}{a^2-b^2}$
Упростим числитель, сократив подобные слагаемые:
$\frac{(a^2-a^2+a^2) + (ab-ab) - b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = 1$

Ответ: $1$.

б) Упростим выражение $\frac{1}{x+y} - \frac{1}{y-x} - \frac{2y}{x^2-y^2}$.
Преобразуем знаменатели, чтобы найти общий. Заметим, что $y-x = -(x-y)$ и $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.
$\frac{1}{x+y} - \frac{1}{-(x-y)} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)} = \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$
Общий знаменатель — это $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
$\frac{1(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{1(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$
Объединим дроби:
$\frac{x-y+x+y-2y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x-2y}{x^2-y^2}$
Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{2(x-y)}{(x-y)(x+y)}$
Сократим дробь на $(x-y)$:
$\frac{2}{x+y}$

Ответ: $\frac{2}{x+y}$.

в) Упростим выражение $\frac{a}{4-a^2} - \frac{2+a}{2a-4} - \frac{2-a}{4+2a}$.
Сначала разложим знаменатели на множители:
$4-a^2 = (2-a)(2+a)$
$2a-4 = 2(a-2) = -2(2-a)$
$4+2a = 2(2+a)$
Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:
$\frac{a}{(2-a)(2+a)} - \frac{2+a}{-2(2-a)} - \frac{2-a}{2(2+a)} = \frac{a}{(2-a)(2+a)} + \frac{2+a}{2(2-a)} - \frac{2-a}{2(2+a)}$
Общий знаменатель — это $2(2-a)(2+a)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{2a}{2(2-a)(2+a)} + \frac{(2+a)(2+a)}{2(2-a)(2+a)} - \frac{(2-a)(2-a)}{2(2-a)(2+a)}$
Объединим числители:
$\frac{2a + (2+a)^2 - (2-a)^2}{2(2-a)(2+a)} = \frac{2a + (4+4a+a^2) - (4-4a+a^2)}{2(4-a^2)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{2a+4+4a+a^2-4+4a-a^2}{2(4-a^2)} = \frac{10a}{2(4-a^2)} = \frac{5a}{4-a^2}$

Ответ: $\frac{5a}{4-a^2}$.

г) Упростим выражение $\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{x+1}$.
Разложим знаменатели на множители и приведем их к одному виду. Заметим, что $1-x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(x+1)$.
$\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{-(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x+1}$
Общий знаменатель — это $(x-1)^2(x+1)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} - \frac{2(x-1)}{(x-1)^2(x+1)} - \frac{1(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}$
Объединим дроби:
$\frac{(x+1)^2 - 2(x-1) - (x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(x^2+2x+1) - (2x-2) - (x^2-2x+1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{x^2+2x+1-2x+2-x^2+2x-1}{(x-1)^2(x+1)}$
Упростим числитель:
$\frac{2x+2}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)}$
Сократим дробь на $(x+1)$:
$\frac{2}{(x-1)^2}$

Ответ: $\frac{2}{(x-1)^2}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 1.68 расположенного на странице 25 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.68 (с. 25), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.