Номер 1.68, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.68, страница 25.

Условие.

1.68 a) $\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b}$;

Б) $\frac{1}{x+y} - \frac{1}{y-x} - \frac{2y}{x^2-y^2}$;

В) $\frac{a}{4-a^2} - \frac{2+a}{2a-4} - \frac{2-a}{4+2a}$;

Г) $\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{x+1}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b}$, приведем дроби к общему знаменателю.
Заметим, что знаменатель второй дроби $b^2-a^2 = -(a^2-b^2) = -(a-b)(a+b)$. Используем это для преобразования выражения:
$\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{-(a-b)(a+b)} + \frac{a}{a+b} = \frac{a}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a}{a+b}$
Общий знаменатель для всех дробей — это $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$
Теперь сложим и вычтем числители:
$\frac{a(a+b) - (a^2+b^2) + a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab - a^2 - b^2 + a^2 - ab}{a^2-b^2}$
Упростим числитель, сократив подобные слагаемые:
$\frac{(a^2-a^2+a^2) + (ab-ab) - b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = 1$

Ответ: $1$.

б) Упростим выражение $\frac{1}{x+y} - \frac{1}{y-x} - \frac{2y}{x^2-y^2}$.
Преобразуем знаменатели, чтобы найти общий. Заметим, что $y-x = -(x-y)$ и $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.
$\frac{1}{x+y} - \frac{1}{-(x-y)} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)} = \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$
Общий знаменатель — это $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
$\frac{1(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{1(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$
Объединим дроби:
$\frac{x-y+x+y-2y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x-2y}{x^2-y^2}$
Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{2(x-y)}{(x-y)(x+y)}$
Сократим дробь на $(x-y)$:
$\frac{2}{x+y}$

Ответ: $\frac{2}{x+y}$.

в) Упростим выражение $\frac{a}{4-a^2} - \frac{2+a}{2a-4} - \frac{2-a}{4+2a}$.
Сначала разложим знаменатели на множители:
$4-a^2 = (2-a)(2+a)$
$2a-4 = 2(a-2) = -2(2-a)$
$4+2a = 2(2+a)$
Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:
$\frac{a}{(2-a)(2+a)} - \frac{2+a}{-2(2-a)} - \frac{2-a}{2(2+a)} = \frac{a}{(2-a)(2+a)} + \frac{2+a}{2(2-a)} - \frac{2-a}{2(2+a)}$
Общий знаменатель — это $2(2-a)(2+a)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{2a}{2(2-a)(2+a)} + \frac{(2+a)(2+a)}{2(2-a)(2+a)} - \frac{(2-a)(2-a)}{2(2-a)(2+a)}$
Объединим числители:
$\frac{2a + (2+a)^2 - (2-a)^2}{2(2-a)(2+a)} = \frac{2a + (4+4a+a^2) - (4-4a+a^2)}{2(4-a^2)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{2a+4+4a+a^2-4+4a-a^2}{2(4-a^2)} = \frac{10a}{2(4-a^2)} = \frac{5a}{4-a^2}$

Ответ: $\frac{5a}{4-a^2}$.

г) Упростим выражение $\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{x+1}$.
Разложим знаменатели на множители и приведем их к одному виду. Заметим, что $1-x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(x+1)$.
$\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{-(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x+1}$
Общий знаменатель — это $(x-1)^2(x+1)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} - \frac{2(x-1)}{(x-1)^2(x+1)} - \frac{1(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}$
Объединим дроби:
$\frac{(x+1)^2 - 2(x-1) - (x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(x^2+2x+1) - (2x-2) - (x^2-2x+1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{x^2+2x+1-2x+2-x^2+2x-1}{(x-1)^2(x+1)}$
Упростим числитель:
$\frac{2x+2}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)}$
Сократим дробь на $(x+1)$:
$\frac{2}{(x-1)^2}$

Ответ: $\frac{2}{(x-1)^2}$.