Номер 1.78, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.78, страница 28.

Условие.

1.78 Выполните деление:

а) $\frac{ax - xy}{a} : \frac{a^2 - ay}{x}$

б) $\frac{ab + ac}{bc} : \frac{ab - ac}{bc}$

В) $\frac{x}{x^2 - y^2} : \frac{1}{5x + 5y}$

Г) $\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{a^2 - b^2}$

Д) $\frac{a^2 + ab}{b^2} : \frac{a^2 + a}{b}$

е) $\frac{m^2 - mn}{n} : \frac{mn - n^2}{m}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$ \frac{ax - xy}{a} : \frac{a^2 - ay}{x} = \frac{ax - xy}{a} \cdot \frac{x}{a^2 - ay} $
Теперь разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки.
$ ax - xy = x(a - y) $
$ a^2 - ay = a(a - y) $
Подставим полученные выражения обратно в пример:
$ \frac{x(a - y)}{a} \cdot \frac{x}{a(a - y)} $
Перемножим числители и знаменатели и сократим общие множители $ (a - y) $:
$ \frac{x(a - y) \cdot x}{a \cdot a(a - y)} = \frac{x^2(a - y)}{a^2(a - y)} = \frac{x^2}{a^2} $
Ответ: $ \frac{x^2}{a^2} $

б) Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{ab + ac}{bc} : \frac{ab - ac}{bc} = \frac{ab + ac}{bc} \cdot \frac{bc}{ab - ac} $
Вынесем общий множитель $ a $ в числителе первой дроби и в знаменателе второй:
$ ab + ac = a(b + c) $
$ ab - ac = a(b - c) $
Подставляем и выполняем умножение:
$ \frac{a(b + c)}{bc} \cdot \frac{bc}{a(b - c)} $
Сокращаем общие множители $ a $ и $ bc $:
$ \frac{\cancel{a}(b + c)}{\cancel{bc}} \cdot \frac{\cancel{bc}}{\cancel{a}(b - c)} = \frac{b + c}{b - c} $
Ответ: $ \frac{b + c}{b - c} $

в) Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{x}{x^2 - y^2} : \frac{1}{5x + 5y} = \frac{x}{x^2 - y^2} \cdot \frac{5x + 5y}{1} $
Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и числитель второй дроби, вынеся общий множитель:
$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $
$ 5x + 5y = 5(x + y) $
Подставляем и выполняем умножение:
$ \frac{x}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{5(x + y)}{1} $
Сокращаем общий множитель $ (x+y) $:
$ \frac{x \cdot 5(x + y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{5x}{x - y} $
Ответ: $ \frac{5x}{x - y} $

г) Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a^2 - ab} \cdot \frac{a^2 - b^2}{b} $
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби:
$ a^2 - ab = a(a - b) $
$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ (формула разности квадратов)
Подставляем разложенные выражения в пример:
$ \frac{1}{a(a - b)} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{b} $
Перемножаем дроби и сокращаем общий множитель $ (a - b) $:
$ \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - b)b} = \frac{a + b}{ab} $
Ответ: $ \frac{a + b}{ab} $

д) Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a^2 + ab}{b^2} : \frac{a^2 + a}{b} = \frac{a^2 + ab}{b^2} \cdot \frac{b}{a^2 + a} $
Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй, вынеся за скобки общий множитель $ a $:
$ a^2 + ab = a(a + b) $
$ a^2 + a = a(a + 1) $
Подставляем и выполняем умножение:
$ \frac{a(a + b)}{b^2} \cdot \frac{b}{a(a + 1)} $
Сокращаем общие множители $ a $ и $ b $:
$ \frac{\cancel{a}(a + b)}{b \cdot \cancel{b}} \cdot \frac{\cancel{b}}{\cancel{a}(a + 1)} = \frac{a + b}{b(a + 1)} $
Ответ: $ \frac{a + b}{b(a + 1)} $

е) Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{m^2 - mn}{n} : \frac{mn - n^2}{m} = \frac{m^2 - mn}{n} \cdot \frac{m}{mn - n^2} $
Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй, вынеся общие множители $ m $ и $ n $ соответственно:
$ m^2 - mn = m(m - n) $
$ mn - n^2 = n(m - n) $
Подставляем и выполняем умножение:
$ \frac{m(m - n)}{n} \cdot \frac{m}{n(m - n)} $
Перемножаем дроби и сокращаем общий множитель $ (m-n) $:
$ \frac{m(m - n) \cdot m}{n \cdot n(m - n)} = \frac{m^2(m - n)}{n^2(m - n)} = \frac{m^2}{n^2} $
Ответ: $ \frac{m^2}{n^2} $