Номер 1.94, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.94, страница 32.

Условие.

1.94 а) $(1 - \frac{u}{u+v}) \cdot (1 + \frac{v}{u-v})$

б) $(\frac{1}{x+z} - \frac{1}{x-z}) : (\frac{1}{x+z} + \frac{1}{x-z})$

В) $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2) : (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})$

Г) $(\frac{1}{y} - y) \cdot (\frac{1}{y+1} - \frac{1}{y-1})$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Упростим выражение $\left(1 - \frac{u}{u+v}\right) \cdot \left(1 + \frac{v}{u-v}\right)$.
Сначала выполним действия в каждой из скобок, приводя выражения к общему знаменателю.
1. В первой скобке:$1 - \frac{u}{u+v} = \frac{1 \cdot (u+v)}{u+v} - \frac{u}{u+v} = \frac{u+v-u}{u+v} = \frac{v}{u+v}$.
2. Во второй скобке:$1 + \frac{v}{u-v} = \frac{1 \cdot (u-v)}{u-v} + \frac{v}{u-v} = \frac{u-v+v}{u-v} = \frac{u}{u-v}$.
3. Теперь перемножим полученные дроби:$\frac{v}{u+v} \cdot \frac{u}{u-v} = \frac{v \cdot u}{(u+v)(u-v)}$.
4. Знаменатель является формулой разности квадратов: $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$.
Окончательное выражение: $\frac{uv}{u^2 - v^2}$.

Ответ: $\frac{uv}{u^2-v^2}$.

б) Упростим выражение $\left(\frac{1}{x+z} - \frac{1}{x-z}\right) : \left(\frac{1}{x+z} + \frac{1}{x-z}\right)$.
1. Упростим выражение в первой скобке (делимое). Общий знаменатель $(x+z)(x-z) = x^2-z^2$:
$\frac{1}{x+z} - \frac{1}{x-z} = \frac{1 \cdot (x-z)}{(x+z)(x-z)} - \frac{1 \cdot (x+z)}{(x+z)(x-z)} = \frac{x-z-(x+z)}{x^2-z^2} = \frac{x-z-x-z}{x^2-z^2} = \frac{-2z}{x^2-z^2}$.
2. Упростим выражение во второй скобке (делитель). Общий знаменатель также $x^2-z^2$:
$\frac{1}{x+z} + \frac{1}{x-z} = \frac{1 \cdot (x-z)}{(x+z)(x-z)} + \frac{1 \cdot (x+z)}{(x+z)(x-z)} = \frac{x-z+x+z}{x^2-z^2} = \frac{2x}{x^2-z^2}$.
3. Выполним деление, умножив делимое на дробь, обратную делителю:
$\frac{-2z}{x^2-z^2} : \frac{2x}{x^2-z^2} = \frac{-2z}{x^2-z^2} \cdot \frac{x^2-z^2}{2x}$.
4. Сократим общие множители $2$ и $(x^2-z^2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{-z}{1} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{z}{x}$.

Ответ: $-\frac{z}{x}$.

в) Упростим выражение $\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2\right) : \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right)$.
1. Упростим выражение в первой скобке. Общий знаменатель $ab$:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a \cdot a}{ab} + \frac{b \cdot b}{ab} + \frac{2 \cdot ab}{ab} = \frac{a^2+b^2+2ab}{ab}$.
В числителе получили формулу квадрата суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Таким образом, первая скобка равна $\frac{(a+b)^2}{ab}$.
2. Упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель $ab$:
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{b \cdot b}{ab} = \frac{a^2-b^2}{ab}$.
В числителе формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, вторая скобка равна $\frac{(a-b)(a+b)}{ab}$.
3. Выполним деление:
$\frac{(a+b)^2}{ab} : \frac{(a-b)(a+b)}{ab} = \frac{(a+b)^2}{ab} \cdot \frac{ab}{(a-b)(a+b)}$.
4. Сократим общие множители $ab$ и $(a+b)$:$\frac{a+b}{a-b}$.

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$.

г) Упростим выражение $\left(\frac{1}{y} - y\right) \cdot \left(\frac{1}{y+1} - \frac{1}{y-1}\right)$.
1. Преобразуем первую скобку:
$\frac{1}{y} - y = \frac{1}{y} - \frac{y^2}{y} = \frac{1-y^2}{y}$.
2. Преобразуем вторую скобку. Общий знаменатель $(y+1)(y-1) = y^2-1$:
$\frac{1}{y+1} - \frac{1}{y-1} = \frac{1 \cdot (y-1)}{(y+1)(y-1)} - \frac{1 \cdot (y+1)}{(y+1)(y-1)} = \frac{y-1-(y+1)}{y^2-1} = \frac{y-1-y-1}{y^2-1} = \frac{-2}{y^2-1}$.
3. Выполним умножение:
$\frac{1-y^2}{y} \cdot \frac{-2}{y^2-1}$.
4. Заметим, что $1-y^2 = -(y^2-1)$. Подставим это в выражение и сократим:
$\frac{-(y^2-1)}{y} \cdot \frac{-2}{y^2-1} = \frac{-1}{y} \cdot (-2) = \frac{2}{y}$.

Ответ: $\frac{2}{y}$.