Номер 1.96, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.96, страница 32.

Условие.

1.96 Упростите выражение:

a) $(c + \frac{1}{c})^2 - 2;$

б) $(m - \frac{2}{m})^2 - (m + \frac{2}{m})^2;$

В) $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 - (\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2});$

Г) $(a + \frac{a+1}{a})^2 - (a - \frac{a+1}{a})^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $(c + \frac{1}{c})^2 - 2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
Раскроем скобки:
$(c + \frac{1}{c})^2 - 2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot \frac{1}{c} + (\frac{1}{c})^2 - 2$
Упростим средний член: $2 \cdot c \cdot \frac{1}{c} = 2$.
Подставим упрощенное значение обратно в выражение:
$c^2 + 2 + \frac{1}{c^2} - 2 = c^2 + \frac{1}{c^2}$
Ответ: $c^2 + \frac{1}{c^2}$

б) Выражение $(m - \frac{2}{m})^2 - (m + \frac{2}{m})^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
В нашем случае $x = m - \frac{2}{m}$ и $y = m + \frac{2}{m}$.
$( (m - \frac{2}{m}) - (m + \frac{2}{m}) ) \cdot ( (m - \frac{2}{m}) + (m + \frac{2}{m}) )$
Упростим выражение в каждой из скобок:
Первая скобка: $m - \frac{2}{m} - m - \frac{2}{m} = -\frac{4}{m}$
Вторая скобка: $m - \frac{2}{m} + m + \frac{2}{m} = 2m$
Теперь перемножим результаты:
$(-\frac{4}{m}) \cdot (2m) = -8$
Ответ: $-8$

в) Упростим выражение $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 - (\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2})$.
Сначала раскроем квадрат суммы, используя формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 = (\frac{x}{y})^2 + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2}$
Подставим полученное выражение в исходное:
$(\frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2}) - (\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2})$
Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2} - \frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2} = 2$
Ответ: $2$

г) Выражение $(a + \frac{a+1}{a})^2 - (a - \frac{a+1}{a})^2$ также является разностью квадратов, поэтому применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Здесь $x = a + \frac{a+1}{a}$ и $y = a - \frac{a+1}{a}$.
$( (a + \frac{a+1}{a}) - (a - \frac{a+1}{a}) ) \cdot ( (a + \frac{a+1}{a}) + (a - \frac{a+1}{a}) )$
Упростим каждую скобку отдельно:
Первая скобка: $a + \frac{a+1}{a} - a + \frac{a+1}{a} = 2 \cdot \frac{a+1}{a} = \frac{2(a+1)}{a}$
Вторая скобка: $a + \frac{a+1}{a} + a - \frac{a+1}{a} = 2a$
Перемножим полученные выражения:
$\frac{2(a+1)}{a} \cdot 2a = 4(a+1) = 4a+4$
Ответ: $4a+4$