Номер 1.102, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.102, страница 34.

Условие.

1.102 Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значения выражения:

a) $\left(\frac{b^2}{a^3 - ab^2} - \frac{b}{a^2 - ab}\right) \cdot \left(\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{1}{a+b}\right)$ отрицательны;

б) $\frac{x^3 - y^3}{2x + 2y} \cdot \frac{(x + y)^2}{x^2 + xy + y^2} : \left(\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}\right)$ неотрицательны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим выражение $\left(\frac{b^2}{a^3 - ab^2} - \frac{b}{a^2 - ab}\right) \cdot \left(\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{1}{a+b}\right)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

• $a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2) = a(a-b)(a+b) \neq 0$, откуда $a \neq 0$, $a \neq b$, $a \neq -b$.
• $a^2 - ab = a(a-b) \neq 0$, что уже учтено в предыдущем пункте.
• $b^2 + ab = b(a+b) \neq 0$, откуда $b \neq 0$.
• $a+b \neq 0$, что также уже учтено.

Таким образом, ОДЗ: $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a \neq b$, $a \neq -b$.

Теперь упростим выражение, выполняя действия по шагам. Сначала выполним вычитание в первой скобке:

$\frac{b^2}{a^3 - ab^2} - \frac{b}{a^2 - ab} = \frac{b^2}{a(a-b)(a+b)} - \frac{b}{a(a-b)} = \frac{b^2 - b(a+b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{b^2 - ab - b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{-ab}{a(a-b)(a+b)}$

Сократив на $a$ (так как $a \neq 0$), получим:

$\frac{-b}{(a-b)(a+b)}$

Теперь выполним вычитание во второй скобке:

$\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{1}{a+b} = \frac{a}{b(b+a)} - \frac{1}{a+b} = \frac{a - b}{b(a+b)}$

Перемножим полученные результаты:

$\left(\frac{-b}{(a-b)(a+b)}\right) \cdot \left(\frac{a-b}{b(a+b)}\right) = \frac{-b(a-b)}{b(a-b)(a+b)^2}$

Сократим дробь на $b$ и $(a-b)$, что возможно согласно ОДЗ ($b \neq 0$, $a \neq b$):

$\frac{-1}{(a+b)^2}$

Проанализируем знак полученного выражения. В области допустимых значений $a+b \neq 0$, следовательно, $(a+b)^2$ всегда является положительным числом. Частное от деления отрицательного числа $(-1)$ на положительное число $((a+b)^2)$ всегда отрицательно.

Следовательно, значение исходного выражения отрицательно при всех допустимых значениях переменных $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение $\left(\frac{b^2}{a^3 - ab^2} - \frac{b}{a^2 - ab}\right) \cdot \left(\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{1}{a+b}\right)$ упрощается до $-\frac{1}{(a+b)^2}$. Поскольку $(a+b)^2 > 0$ для всех допустимых значений, выражение всегда отрицательно.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{x^3 - y^3}{2x + 2y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2 + xy + y^2} : \left(\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}\right)$.

Определим ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

• $2x+2y = 2(x+y) \neq 0 \implies x \neq -y$.
• $x^2+xy+y^2 \neq 0$. Это выражение (неполный квадрат суммы) равно нулю только при $x=0$ и $y=0$ одновременно, что исключается другими условиями ОДЗ.
• $x-y \neq 0 \implies x \neq y$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, которое стоит после знака деления:

$\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x^2+2xy+y^2) + (x^2-2xy+y^2)}{x^2-y^2} = \frac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)(x+y)}$

Теперь перепишем исходное выражение, заменив деление на умножение на обратную дробь и разложив разность кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{2(x+y)} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{2(x^2+y^2)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе, что возможно в силу ОДЗ:

$\frac{(x-y)\cancel{(x^2+xy+y^2)}}{2\cancel{(x+y)}} \cdot \frac{(x+y)^{\cancel{2}}}{\cancel{x^2+xy+y^2}} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{2(x^2+y^2)} = \frac{(x-y) \cdot (x+y) \cdot (x-y)(x+y)}{2 \cdot 2(x^2+y^2)}$

Сгруппируем множители:

$\frac{(x-y)^2 (x+y)^2}{4(x^2+y^2)} = \frac{((x-y)(x+y))^2}{4(x^2+y^2)} = \frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}$

Проанализируем знак полученного выражения. В ОДЗ $x \neq y$ и $x \neq -y$, поэтому $x^2-y^2 \neq 0$.

Числитель $(x^2-y^2)^2$ является квадратом ненулевого числа, следовательно, он всегда строго положителен.

Знаменатель $4(x^2+y^2)$ также всегда положителен, так как $x$ и $y$ не могут быть одновременно равны нулю (иначе $x=y$ или $x=-y$, что противоречит ОДЗ), а значит $x^2+y^2 > 0$.

Отношение двух положительных чисел есть число положительное. Так как любое положительное число является неотрицательным ($>0$ удовлетворяет условию $\geq 0$), то и значение исходного выражения неотрицательно при всех допустимых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение $\frac{x^3 - y^3}{2x + 2y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2 + xy + y^2} : \left(\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}\right)$ упрощается до $\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}$. Поскольку числитель является квадратом ненулевого числа, а знаменатель всегда положителен в области допустимых значений, всё выражение строго больше нуля, а значит, неотрицательно.