Номер 1.28, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.28, страница 14.

Условие.

1.28 a) $\frac{x^2 - 9y^2}{x + 3y}$;

Б) $\frac{a + 2b}{a^2 + 4ab + 4b^2}$;

В) $\frac{m^2 - n^2}{mn - n^2}$;

Г) $\frac{ax - ay}{x^2 - 2xy + y^2}$;

Д) $\frac{2ab - 6a}{b^2 - 6b + 9}$;

Е) $\frac{5n^2 + 10n}{n^2 - 4}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 9y^2}{x + 3y}$, необходимо разложить числитель на множители. Выражение в числителе $x^2 - 9y^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В данном случае $a = x$ и $b = 3y$.
Получаем: $x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$.
Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:
$\frac{(x - 3y)(x + 3y)}{x + 3y}$
Сокращаем общий множитель $(x + 3y)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(x - 3y)\cancel{(x + 3y)}}{\cancel{x + 3y}} = x - 3y$.
Ответ: $x - 3y$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a + 2b}{a^2 + 4ab + 4b^2}$, разложим знаменатель на множители. Выражение в знаменателе $a^2 + 4ab + 4b^2$ является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x = a$ и $y = 2b$.
Получаем: $a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a + 2b)^2$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{a + 2b}{(a + 2b)^2}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(a + 2b)$:
$\frac{\cancel{a + 2b}}{(a + 2b)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{a + 2b}$.
Ответ: $\frac{1}{a + 2b}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{m^2 - n^2}{mn - n^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $m^2 - n^2$ — это разность квадратов: $(m - n)(m + n)$.
В знаменателе $mn - n^2$ вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n(m - n)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(m - n)(m + n)}{n(m - n)}$
Сокращаем общий множитель $(m - n)$:
$\frac{\cancel{(m - n)}(m + n)}{n\cancel{(m - n)}} = \frac{m + n}{n}$.
Ответ: $\frac{m + n}{n}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{ax - ay}{x^2 - 2xy + y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе $ax - ay$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(x - y)$.
Знаменатель $x^2 - 2xy + y^2$ — это полный квадрат разности: $(x - y)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{a(x - y)}{(x - y)^2}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(x - y)$:
$\frac{a\cancel{(x - y)}}{(x - y)^{\cancel{2}}} = \frac{a}{x - y}$.
Ответ: $\frac{a}{x - y}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{2ab - 6a}{b^2 - 6b + 9}$, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе $2ab - 6a$ вынесем общий множитель $2a$ за скобки: $2a(b - 3)$.
Знаменатель $b^2 - 6b + 9$ — это полный квадрат разности: $(b - 3)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{2a(b - 3)}{(b - 3)^2}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(b - 3)$:
$\frac{2a\cancel{(b - 3)}}{(b - 3)^{\cancel{2}}} = \frac{2a}{b - 3}$.
Ответ: $\frac{2a}{b - 3}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{5n^2 + 10n}{n^2 - 4}$, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе $5n^2 + 10n$ вынесем общий множитель $5n$ за скобки: $5n(n + 2)$.
Знаменатель $n^2 - 4$ — это разность квадратов: $n^2 - 2^2 = (n - 2)(n + 2)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{5n(n + 2)}{(n - 2)(n + 2)}$
Сокращаем общий множитель $(n + 2)$:
$\frac{5n\cancel{(n + 2)}}{(n - 2)\cancel{(n + 2)}} = \frac{5n}{n - 2}$.
Ответ: $\frac{5n}{n - 2}$.