Номер 3, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 13.

Условие.

a) Запишите равенство, которое получится в результате умножения числителя и знаменателя дроби $\frac{A}{B}$ на $(-1)$. Прочитайте в учебном пособии соответствующее свойство алгебраической дроби (фрагмент 2).

б) Сократите дробь $\frac{3x - 3y}{y^2 - x^2}$, действуя по тому же плану, что и в примере 4. Прочитайте свойство, которым вы при этом пользовались.

Решение 4.

а) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{A}{B}$ на число $(-1)$.

Числитель: $A \cdot (-1) = -A$

Знаменатель: $B \cdot (-1) = -B$

В результате умножения мы получаем новую дробь $\frac{-A}{-B}$.

Согласно основному свойству алгебраической дроби, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то значение дроби не изменится. Поэтому исходная дробь равна полученной.

Итоговое равенство выглядит так:

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot (-1)}{B \cdot (-1)} = \frac{-A}{-B}$

Свойство, которое упоминается в учебном пособии (фрагмент 2), — это тождество, показывающее, что при одновременном изменении знака числителя и знаменателя дроби ее значение не меняется.

Ответ: $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{3x-3y}{y^2-x^2}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3x-3y = 3(x-y)$

2. Разложим на множители знаменатель. Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$

3. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{3(x-y)}{(y-x)(y+x)}$

4. Заметим, что выражения $(x-y)$ и $(y-x)$ являются противоположными. Чтобы сделать их одинаковыми, вынесем знак минус из скобки в знаменателе: $(y-x) = -(x-y)$.
$\frac{3(x-y)}{-(x-y)(y+x)}$

5. Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-y)$, при условии, что $x-y \neq 0$, то есть $x \neq y$.
$\frac{3}{-(y+x)} = -\frac{3}{y+x}$

При решении мы использовали основное свойство алгебраической дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель разделить на одно и то же ненулевое выражение. Также мы использовали свойство, позволяющее менять знаки у множителей в числителе или знаменателе.

Ответ: $-\frac{3}{x+y}$