Номер 1.15, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.15, страница 10.

Условие.

1.15 Подберите, если возможно, такие значения переменных, при которых дробь: 1) не имеет смысла; 2) равна 0:

а) $ \frac{x+y}{x^2+y^2} $;

б) $ \frac{x^2+y^2}{x+y} $;

в) $ \frac{x+y}{x^2-y^2} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)
1) Дробь не имеет смысла (не определена), когда ее знаменатель равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x^2 + y^2$. Приравняем его к нулю: $x^2 + y^2 = 0$. Поскольку квадраты любых действительных чисел неотрицательны ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. $x^2 = 0 \implies x = 0$ $y^2 = 0 \implies y = 0$ Таким образом, дробь не имеет смысла только при $x=0$ и $y=0$.
Ответ: при $x=0, y=0$.

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Числитель $x+y$ должен быть равен нулю: $x+y=0 \implies y = -x$. Знаменатель $x^2+y^2$ не должен быть равен нулю. Мы уже выяснили, что $x^2+y^2=0$ только при $x=0, y=0$. Значит, нам нужно исключить этот случай. Условие $y=-x$ включает в себя случай $x=0, y=0$. Поэтому, чтобы знаменатель не был равен нулю, мы должны потребовать, чтобы переменные не были равны нулю одновременно. Если $x \neq 0$, то и $y=-x \neq 0$. Например, при $x=1, y=-1$ числитель равен $1+(-1)=0$, а знаменатель $1^2+(-1)^2 = 2 \neq 0$. Дробь равна $\frac{0}{2}=0$.
Ответ: при $y=-x$ для любого $x \neq 0$.

б)
1) Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю: $x+y=0 \implies y = -x$. Это любые два числа, которые являются противоположными друг другу (например, 5 и -5).
Ответ: при $y=-x$.

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие для числителя: $x^2+y^2=0$. Как мы установили в пункте а), это уравнение имеет единственное решение в действительных числах: $x=0$ и $y=0$. Теперь проверим знаменатель при этих значениях: $x+y=0+0=0$. Получается, что когда числитель равен нулю, знаменатель также обращается в нуль. В этом случае дробь не определена, а не равна нулю. Следовательно, не существует таких значений переменных, при которых эта дробь равна нулю.
Ответ: таких значений не существует.

в)
1) Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю: $x^2 - y^2 = 0$. Используем формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y)=0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. $x-y=0 \implies x=y$ или $x+y=0 \implies y=-x$. Таким образом, дробь не имеет смысла, если значения переменных равны по модулю ($|x|=|y|$).
Ответ: при $x=y$ или $y=-x$.

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие для числителя: $x+y=0$. Проверим знаменатель при этом условии. Если $x+y=0$, то знаменатель $x^2-y^2 = (x-y)(x+y) = (x-y) \cdot 0 = 0$. Таким образом, если числитель равен нулю, то и знаменатель обязательно равен нулю. Это означает, что дробь не определена. Значит, не существует таких значений переменных, при которых данная дробь равна нулю.
Ответ: таких значений не существует.