Номер 1.8, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.8, страница 9.

Условие.

1.8 Используя данные выражения, составьте две дроби и найдите допустимые значения переменной для каждой из них:

а) $p^2 + 1$ и $p + 1$;

б) $(c + 1)^2$ и $c^2 + 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Даны выражения $p^2 + 1$ и $p + 1$. Из них можно составить две дроби.

1. Рассмотрим дробь $\frac{p^2 + 1}{p + 1}$.

Допустимые значения переменной — это те значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль:

$p + 1 = 0$

$p = -1$

Таким образом, допустимыми значениями для этой дроби являются все числа, кроме $p = -1$.

2. Рассмотрим дробь $\frac{p + 1}{p^2 + 1}$.

Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль:

$p^2 + 1 = 0$

$p^2 = -1$

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($p^2 \ge 0$). Следовательно, выражение $p^2 + 1$ всегда положительно ($p^2 + 1 \ge 1$). Знаменатель никогда не равен нулю.

Таким образом, допустимыми значениями для этой дроби являются все действительные числа.

Ответ: для дроби $\frac{p^2 + 1}{p + 1}$ допустимые значения переменной: $p \neq -1$; для дроби $\frac{p + 1}{p^2 + 1}$ допустимые значения переменной: $p$ - любое действительное число.

б)

Даны выражения $(c + 1)^2$ и $c^2 + 1$. Из них можно составить две дроби.

1. Рассмотрим дробь $\frac{(c + 1)^2}{c^2 + 1}$.

Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль:

$c^2 + 1 = 0$

$c^2 = -1$

Как и в предыдущем пункте, это уравнение не имеет действительных решений. Знаменатель $c^2 + 1$ всегда больше нуля.

Таким образом, допустимыми значениями для этой дроби являются все действительные числа.

2. Рассмотрим дробь $\frac{c^2 + 1}{(c + 1)^2}$.

Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль:

$(c + 1)^2 = 0$

$c + 1 = 0$

$c = -1$

Таким образом, допустимыми значениями для этой дроби являются все числа, кроме $c = -1$.

Ответ: для дроби $\frac{(c + 1)^2}{c^2 + 1}$ допустимые значения переменной: $c$ - любое действительное число; для дроби $\frac{c^2 + 1}{(c + 1)^2}$ допустимые значения переменной: $c \neq -1$.