Номер 1.6, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.6, страница 8.

Условие.

1.6 Известно, что $x + y = 1$ и $x - y = \frac{2}{3}$. Найдите значение выражения:

а) $\frac{x+y}{x-y}$;

б) $\frac{y-x}{x+y}$;

в) $\frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}$;

г) $\frac{(y-x)^2}{x+y}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{x+y}{x-y}$, подставим в него известные из условия значения: $x+y=1$ и $x-y=\frac{2}{3}$.

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$1 \div \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

б) Для вычисления выражения $\frac{y-x}{x+y}$ сначала найдем значение числителя $y-x$. Выражение $y-x$ является противоположным выражению $x-y$.

$y-x = -(x-y) = -(\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3}$.

Теперь подставим найденное значение и значение $x+y$ в дробь:

$\frac{y-x}{x+y} = \frac{-\frac{2}{3}}{1} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}$, подставим известные значения $x+y=1$ и $x-y=\frac{2}{3}$ и возведем их в квадрат:

$\frac{(x+y)^2}{(x-y)^2} = \frac{1^2}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}}$.

Выполним деление:

$1 \div \frac{4}{9} = 1 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$.

Альтернативно, можно было использовать свойство степени дроби: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$. Тогда, используя результат из пункта а), получаем:

$(\frac{x+y}{x-y})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

г) Для нахождения значения выражения $\frac{(y-x)^2}{x+y}$ воспользуемся свойством квадрата: $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Следовательно, $(y-x)^2 = (x-y)^2$.

Так как $x-y=\frac{2}{3}$, то $(y-x)^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.

Теперь подставим все значения в исходное выражение:

$\frac{(y-x)^2}{x+y} = \frac{\frac{4}{9}}{1} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.