Номер 1.12, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.12, страница 10.

Условие.

1.12 Упростите дробь и найдите её значение при указанных значениях переменных:

a) $\frac{x^2 - xy + y^2 - (x - y)^2}{x + y}$ при $x = 0,3$ и $y = 0,5$;

б) $\frac{m - 4}{(m + n)^2 - (m - n)^2}$ при $m = \frac{2}{3}$ и $n = -\frac{3}{4}$;

В) $\frac{(a + b)^2 - 4ab}{a + b}$ при $a = 0,74$ и $b = -0,26$;

Г) $\frac{cd}{2(c - d)(c + d) - (c - d)^2 + 4d^2}$ при $c = -1$ и $d = 11$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{x^2 - xy + y^2 - (x - y)^2}{x + y}$ при $x = 0,3$ и $y = 0,5$.

Сначала упростим выражение в числителе. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - xy + y^2 - (x - y)^2 = x^2 - xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 - xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-xy + 2xy) + (y^2 - y^2) = 0 + xy + 0 = xy$.

Таким образом, исходная дробь упрощается до вида:

$\frac{xy}{x + y}$.

Теперь подставим заданные значения переменных $x = 0,3$ и $y = 0,5$:

$\frac{0,3 \cdot 0,5}{0,3 + 0,5} = \frac{0,15}{0,8} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$.

б) $\frac{m - 4}{(m + n)^2 - (m - n)^2}$ при $m = \frac{2}{3}$ и $n = -\frac{3}{4}$.

Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(m + n)^2 - (m - n)^2 = ((m + n) - (m - n))((m + n) + (m - n)) = (m + n - m + n)(m + n + m - n) = (2n)(2m) = 4mn$.

Исходная дробь принимает вид:

$\frac{m - 4}{4mn}$.

Подставим значения $m = \frac{2}{3}$ и $n = -\frac{3}{4}$:

Числитель: $m - 4 = \frac{2}{3} - 4 = \frac{2}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{10}{3}$.

Знаменатель: $4mn = 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{4 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = -2$.

Значение дроби: $\frac{-\frac{10}{3}}{-2} = (-\frac{10}{3}) \div (-2) = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

в) $\frac{(a + b)^2 - 4ab}{a + b}$ при $a = 0,74$ и $b = -0,26$.

Упростим числитель. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$.

Полученное выражение является квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Таким образом, дробь упрощается до:

$\frac{(a - b)^2}{a + b}$.

Подставим значения $a = 0,74$ и $b = -0,26$:

$a + b = 0,74 + (-0,26) = 0,74 - 0,26 = 0,48$.

$a - b = 0,74 - (-0,26) = 0,74 + 0,26 = 1$.

Значение дроби: $\frac{1^2}{0,48} = \frac{1}{0,48} = \frac{100}{48} = \frac{25}{12}$.

Ответ: $\frac{25}{12}$.

г) $\frac{cd}{2(c - d)(c + d) - (c - d)^2 + 4d^2}$ при $c = -1$ и $d = 11$.

Упростим знаменатель. Используем формулу разности квадратов $(c-d)(c+d) = c^2-d^2$ и формулу квадрата разности $(c-d)^2 = c^2-2cd+d^2$:

$2(c^2 - d^2) - (c^2 - 2cd + d^2) + 4d^2 = 2c^2 - 2d^2 - c^2 + 2cd - d^2 + 4d^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(2c^2 - c^2) + 2cd + (-2d^2 - d^2 + 4d^2) = c^2 + 2cd + d^2$.

Полученное выражение является квадратом суммы: $c^2 + 2cd + d^2 = (c + d)^2$.

Дробь принимает вид:

$\frac{cd}{(c + d)^2}$.

Подставим значения $c = -1$ и $d = 11$:

$\frac{(-1) \cdot 11}{(-1 + 11)^2} = \frac{-11}{10^2} = \frac{-11}{100} = -0,11$.

Ответ: $-0,11$.