Номер 2, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 7.

Условие.

Докажите, что $(x+1)^2$ делится на $x+1$ и не делится на $x-1$, рассуждая таким же образом, как во фрагменте 2.

Решение 4.

Доказательство, что $(x + 1)^2$ делится на $x + 1$

Для доказательства будем использовать теорему Безу. Она гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $x=a$, то есть $P(a)$. Многочлен делится на $x - a$ без остатка (нацело) тогда и только тогда, когда $P(a) = 0$.

В нашем случае рассматривается многочлен $P(x) = (x + 1)^2$ и делитель $x + 1$. Представим делитель в стандартной для теоремы Безу форме $x - a$. Получим $x + 1 = x - (-1)$, откуда следует, что $a = -1$.

Теперь вычислим значение многочлена $P(x)$ в точке $x = a = -1$:

$P(-1) = ((-1) + 1)^2 = 0^2 = 0$.

Поскольку $P(-1) = 0$, остаток от деления многочлена $(x + 1)^2$ на $x + 1$ равен нулю. Это означает, что $(x + 1)^2$ делится на $x + 1$ без остатка.

Ответ: Утверждение доказано, так как по теореме Безу остаток от деления равен $P(-1)=0$.

Доказательство, что $(x + 1)^2$ не делится на $x - 1$

Воспользуемся тем же методом. Многочлен остается прежним, $P(x) = (x + 1)^2$. Новый делитель — это $x - 1$.

Для делителя $x - 1$ соответствующее значение $a$ равно $1$. Найдем значение многочлена $P(x)$ в точке $x = a = 1$:

$P(1) = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$.

Согласно теореме Безу, остаток от деления $(x + 1)^2$ на $x - 1$ равен $P(1)$, то есть 4.

Так как остаток не равен нулю ($4 \neq 0$), то многочлен $(x + 1)^2$ не делится на $x - 1$ нацело.

Ответ: Утверждение доказано, так как по теореме Безу остаток от деления равен $P(1)=4$, что не равно нулю.