Номер 8, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 8, страница 96.

Условие.

8. Докажите, что при любом значении $p$ уравнение $x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$ не имеет корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что уравнение не имеет корней, необходимо показать, что его дискриминант ($D$) всегда отрицателен при любом значении параметра $p$.

Данное уравнение $x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$ $b = -p$ $c = 2p^2 + 1$

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Подставим в нее значения коэффициентов: $D = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p^2 + 1)$

Упростим полученное выражение для дискриминанта: $D = p^2 - 4(2p^2 + 1)$ $D = p^2 - 8p^2 - 4$ $D = -7p^2 - 4$

Теперь проанализируем знак выражения $D = -7p^2 - 4$. Выражение $p^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $p^2 \ge 0$ при любом $p$. Следовательно, выражение $-7p^2$ всегда неположительно: $-7p^2 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть положительное число 4, результат всегда будет отрицательным. Максимальное значение, которое может принять выражение $-7p^2$, равно 0 (при $p=0$). В этом случае дискриминант будет равен $D = 0 - 4 = -4$. Для всех остальных значений $p$ ($p \neq 0$), $p^2 > 0$, и, соответственно, $-7p^2 < 0$. Тогда $D = -7p^2 - 4 < -4$. Таким образом, для любого значения $p$ дискриминант $D$ всегда будет меньше нуля ($D \le -4$).

Поскольку дискриминант уравнения всегда отрицателен, оно не имеет действительных корней ни при каком значении $p$, что и требовалось доказать.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D = -7p^2 - 4$. Так как $p^2 \ge 0$ для любого $p$, то $-7p^2 \le 0$, и, следовательно, $D = -7p^2 - 4 \le -4$. Поскольку дискриминант всегда отрицателен, уравнение не имеет корней ни при каком значении $p$.