Номер 5, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 5, страница 96.

Условие.

5. Докажите тождество:

$\left(\frac{b}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b + 6}{b^2 - 16}\right) : \frac{b + 12}{b^2 - 16} = \frac{2}{b - 4}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Будем выполнять преобразования по действиям.

1. Разложим на множители знаменатели дробей в выражении.

Знаменатель первой дроби $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности: $b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = (b-4)^2$.

Знаменатели второй и третьей дробей $b^2 - 16$ представляют собой разность квадратов: $b^2 - 4^2 = (b-4)(b+4)$.

После подстановки разложенных знаменателей левая часть тождества примет вид: $ \left( \frac{b}{(b-4)^2} - \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} \right) : \frac{b+12}{(b-4)(b+4)} $

2. Выполним вычитание дробей в скобках.

Общий знаменатель для дробей в скобках — это $(b-4)^2(b+4)$. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(b+4)$, для второй — $(b-4)$. $ \frac{b}{(b-4)^2} - \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} = \frac{b(b+4)}{(b-4)^2(b+4)} - \frac{(b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)} $

Запишем под общей чертой и упростим числитель: $ \frac{b(b+4) - (b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{(b^2 + 4b) - (b^2 - 4b + 6b - 24)}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{b^2 + 4b - (b^2 + 2b - 24)}{(b-4)^2(b+4)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $ \frac{b^2 + 4b - b^2 - 2b + 24}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{2b + 24}{(b-4)^2(b+4)} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки: $ \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} $

3. Выполним деление.

Теперь разделим результат, полученный в скобках, на третью дробь. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь: $ \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} : \frac{b+12}{(b-4)(b+4)} = \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} \cdot \frac{(b-4)(b+4)}{b+12} $

4. Сократим полученную дробь.

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(b+12)$, $(b+4)$ и одну степень $(b-4)$. $ \frac{2 \cdot (b+12) \cdot (b-4) \cdot (b+4)}{(b-4)^2 \cdot (b+4) \cdot (b+12)} = \frac{2}{b-4} $

В результате преобразования левой части тождества мы получили выражение, равное его правой части. $ \frac{2}{b-4} = \frac{2}{b-4} $

Данное тождество верно при всех допустимых значениях переменной $b$, при которых знаменатели не равны нулю, и делитель не равен нулю: $b \neq 4$, $b \neq -4$, $b \neq -12$.

Ответ: В результате упрощения левой части выражения было получено выражение $ \frac{2}{b-4} $, которое равно правой части. Таким образом, тождество доказано.