Номер 6, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 6, страница 96.

Условие.

6. Постройте график функции $y = \frac{x^2 + 2x - 15}{x - 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения графика функции $y = \frac{x^2 + 2x - 15}{x - 3}$ выполним следующие шаги.

1. Нахождение области определения функции

Данная функция является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль.

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Следовательно, область определения функции (ОДЗ) — все действительные числа, кроме $x = 3$. То есть, $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Это означает, что на графике в точке с абсциссой $x=3$ будет разрыв (выколотая точка).

2. Упрощение выражения функции

Разложим числитель $x^2 + 2x - 15$ на множители. для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, числитель можно разложить на множители: $x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5)$.

Теперь подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 3)(x + 5)}{x - 3}$

При условии, что $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:

$y = x + 5$

3. Построение графика

Графиком функции $y = x + 5$ является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 5 = 5$. Получаем точку $(0; 5)$.
• Если $x = -5$, то $y = -5 + 5 = 0$. Получаем точку $(-5; 0)$.

Теперь учтем область определения. Мы выяснили, что $x \neq 3$. Найдем значение $y$ для этой точки на прямой $y = x + 5$:

При $x = 3$, $y = 3 + 5 = 8$.

Значит, точка с координатами $(3; 8)$ не принадлежит графику исходной функции. На графике эта точка будет "выколотой" (пустой).

Таким образом, мы строим прямую, проходящую через точки $(0; 5)$ и $(-5; 0)$, и отмечаем на ней выколотую точку $(3; 8)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^2 + 2x - 15}{x - 3}$ является прямая $y = x + 5$ с выколотой точкой $(3; 8)$.