Номер 3, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6 - номер 3, страница 95.

Условие.

3. Сократите дробь $\frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители знаменатель дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a - 1)(a + 1)$

Теперь разложим на множители числитель $4a^2 + a - 3$. Для этого приравняем его к нулю и решим квадратное уравнение $4a^2 + a - 3 = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

$a_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Теперь, используя формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, получаем:

$4a^2 + a - 3 = 4(a - (-1))(a - \frac{3}{4}) = 4(a + 1)(a - \frac{3}{4})$

Чтобы избавиться от дроби в скобках, умножим множитель 4 на двучлен $(a - \frac{3}{4})$:

$4(a - \frac{3}{4}) = 4a - 4 \cdot \frac{3}{4} = 4a - 3$

Таким образом, числитель раскладывается на множители: $(4a - 3)(a + 1)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - 1} = \frac{(4a - 3)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)}$

Сократим общий множитель $(a + 1)$, при условии, что он не равен нулю ($a \neq -1$):

$\frac{(4a - 3)\cancel{(a + 1)}}{(a - 1)\cancel{(a + 1)}} = \frac{4a - 3}{a - 1}$

Ответ: $\frac{4a - 3}{a - 1}$