Номер 6, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 6, страница 95.

Условие.

6. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 10x - 4 = 0$. Не решая уравнения, найдите значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти значение выражения $x_1^2 + x_2^2$, не решая уравнение, воспользуемся теоремой Виета.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$ и $x_2$ и коэффициентами:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В заданном уравнении $x^2 + 10x - 4 = 0$ коэффициенты равны $p = 10$ и $q = -4$.

Следовательно, сумма и произведение корней равны:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -10$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -4$.

Теперь преобразуем искомое выражение $x_1^2 + x_2^2$. Для этого выделим полный квадрат суммы:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Мы выразили сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Теперь подставим известные значения:
$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-10)^2 - 2 \cdot (-4)$.

Выполним вычисления:
$100 - (-8) = 100 + 8 = 108$.

Ответ: 108