Номер 8, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 8, страница 95.

Условие.

8. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{11a^2}$, если $a \le 0$;

2) $\sqrt{18a^8}$;

3) $\sqrt{-a^7}$;

4) $\sqrt{-a^{10}b^5}$, если $a > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sqrt{11a^2}$, если $a \le 0$

Для вынесения множителя из-под знака корня воспользуемся свойством $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (для неотрицательных $x$ и $y$) и свойством $\sqrt{z^2} = |z|$.

$\sqrt{11a^2} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{11} \cdot |a|$.

По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Согласно условию задачи, $a \le 0$. Следовательно, $|a| = -a$.

Подставим это в наше выражение:

$\sqrt{11} \cdot |a| = \sqrt{11} \cdot (-a) = -a\sqrt{11}$.

Ответ: $-a\sqrt{11}$.

2) $\sqrt{18a^8}$

Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты:

$18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$.

$a^8 = (a^4)^2$.

Следовательно, $\sqrt{18a^8} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot (a^4)^2}$.

Вынесем множители из-под знака корня:

$\sqrt{9 \cdot 2 \cdot (a^4)^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(a^4)^2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot |a^4| \cdot \sqrt{2}$.

Так как степень 4 является четной, выражение $a^4$ всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$) при любом значении $a$. Поэтому $|a^4| = a^4$.

Окончательно получаем:

$3 \cdot a^4 \cdot \sqrt{2} = 3a^4\sqrt{2}$.

Ответ: $3a^4\sqrt{2}$.

3) $\sqrt{-a^7}$

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $-a^7 \ge 0$. Это неравенство выполняется, если $a^7 \le 0$, что, в свою очередь, возможно только при $a \le 0$.

Представим подкоренное выражение в виде произведения, выделив множитель с четной степенью:

$-a^7 = -a \cdot a^6 = -a \cdot (a^3)^2$.

Тогда $\sqrt{-a^7} = \sqrt{-a \cdot (a^3)^2}$.

Заметим, что оба множителя под корнем неотрицательны: $(a^3)^2 \ge 0$ как квадрат, и $-a \ge 0$, так как мы установили, что $a \le 0$.

Вынесем множитель из-под корня:

$\sqrt{-a \cdot (a^3)^2} = \sqrt{(a^3)^2} \cdot \sqrt{-a} = |a^3|\sqrt{-a}$.

Поскольку $a \le 0$, то $a^3 \le 0$. Следовательно, по определению модуля, $|a^3| = -a^3$.

Подставив это в выражение, получим:

$|a^3|\sqrt{-a} = -a^3\sqrt{-a}$.

Ответ: $-a^3\sqrt{-a}$.

4) $\sqrt{-a^{10}b^5}$, если $a > 0$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{10}b^5 \ge 0$.

По условию $a > 0$, значит $a^{10} > 0$. Тогда неравенство можно переписать как $-(\text{положительное число}) \cdot b^5 \ge 0$, что равносильно $-b^5 \ge 0$, или $b^5 \le 0$. Это выполняется только при $b \le 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители, выделив полные квадраты:

$-a^{10}b^5 = (-b) \cdot b^4 \cdot a^{10} = (-b) \cdot (b^2)^2 \cdot (a^5)^2$.

Все множители под корнем неотрицательны: $-b \ge 0$ (т.к. $b \le 0$), $(b^2)^2 \ge 0$ и $(a^5)^2 \ge 0$ (как квадраты).

$\sqrt{-a^{10}b^5} = \sqrt{(-b) \cdot (b^2)^2 \cdot (a^5)^2} = \sqrt{(a^5)^2} \cdot \sqrt{(b^2)^2} \cdot \sqrt{-b}$.

Упростим, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$|a^5| \cdot |b^2| \cdot \sqrt{-b}$.

Раскроем модули с учетом условий:

- Поскольку $a > 0$, то $a^5 > 0$, и $|a^5| = a^5$.

- Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$), поэтому $|b^2| = b^2$.

Подставляем раскрытые модули в выражение:

$a^5 \cdot b^2 \cdot \sqrt{-b} = a^5b^2\sqrt{-b}$.

Ответ: $a^5b^2\sqrt{-b}$.