Номер 4, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 4 - номер 4, страница 94.

Условие.

4. Упростите выражение:

1) $8\sqrt{3} - 5\sqrt{12} + 4\sqrt{75}$;

2) $(\sqrt{20} + \sqrt{80}) \cdot \sqrt{5}$;

3) $(2\sqrt{7} + 3)^2$;

4) $(7\sqrt{2} - 3\sqrt{3})(7\sqrt{2} + 3\sqrt{3})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $8\sqrt{3} - 5\sqrt{12} + 4\sqrt{75}$, необходимо привести все слагаемые к одному виду. Для этого вынесем множители из-под знака корня в тех слагаемых, где это возможно.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь подставим упрощенные корни обратно в исходное выражение:
$8\sqrt{3} - 5 \cdot (2\sqrt{3}) + 4 \cdot (5\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 20\sqrt{3}$.
Так как все слагаемые теперь содержат одинаковый радикал $\sqrt{3}$, мы можем сложить их коэффициенты:
$(8 - 10 + 20)\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$.
Ответ: $18\sqrt{3}$.

2) Для упрощения выражения $(\sqrt{20} + \sqrt{80}) \cdot \sqrt{5}$ можно раскрыть скобки, умножив $\sqrt{5}$ на каждый член в скобках.
$(\sqrt{20} + \sqrt{80}) \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{80} \cdot \sqrt{5}$.
Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{20 \cdot 5} + \sqrt{80 \cdot 5} = \sqrt{100} + \sqrt{400}$.
Теперь извлечем квадратные корни:
$\sqrt{100} = 10$.
$\sqrt{400} = 20$.
Сложим полученные значения:
$10 + 20 = 30$.
Ответ: $30$.

3) Чтобы упростить выражение $(2\sqrt{7} + 3)^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 2\sqrt{7}$ и $b = 3$.
Найдем каждый член формулы по отдельности:
$a^2 = (2\sqrt{7})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$.
$2ab = 2 \cdot (2\sqrt{7}) \cdot 3 = 12\sqrt{7}$.
$b^2 = 3^2 = 9$.
Теперь сложим все полученные части:
$a^2 + 2ab + b^2 = 28 + 12\sqrt{7} + 9$.
Сгруппируем и сложим числовые слагаемые:
$(28 + 9) + 12\sqrt{7} = 37 + 12\sqrt{7}$.
Ответ: $37 + 12\sqrt{7}$.

4) Выражение $(7\sqrt{2} - 3\sqrt{3})(7\sqrt{2} + 3\sqrt{3})$ является произведением разности и суммы двух выражений. Для его упрощения применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае $a = 7\sqrt{2}$ и $b = 3\sqrt{3}$.
Найдем квадрат каждого выражения:
$a^2 = (7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$.
$b^2 = (3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.
Теперь вычтем второй результат из первого:
$a^2 - b^2 = 98 - 27 = 71$.
Ответ: $71$.