Номер 6, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Преобразуйте выражение $ \left(-\frac{2}{3}a^{-4}b^{-8}\right)^{-2} \cdot (3a^2b^{12})^{-3} $ так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.

6.

Чтобы преобразовать выражение $\left(-\frac{2}{3}a^{-4}b^{-8}\right)^{-2} \cdot (3a^2b^{12})^{-3}$ и избавиться от отрицательных показателей, необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Раскроем скобки для первого множителя, используя правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$\left(-\frac{2}{3}a^{-4}b^{-8}\right)^{-2} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot (a^{-4})^{-2} \cdot (b^{-8})^{-2}$

Вычислим каждый компонент:

• $\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$
• $(a^{-4})^{-2} = a^{-4 \cdot (-2)} = a^8$
• $(b^{-8})^{-2} = b^{-8 \cdot (-2)} = b^{16}$

Таким образом, первый множитель равен $\frac{9}{4}a^8b^{16}$.

2. Аналогично раскроем скобки для второго множителя:

$(3a^2b^{12})^{-3} = 3^{-3} \cdot (a^2)^{-3} \cdot (b^{12})^{-3}$

Вычислим каждый компонент:

• $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$
• $(a^2)^{-3} = a^{2 \cdot (-3)} = a^{-6}$
• $(b^{12})^{-3} = b^{12 \cdot (-3)} = b^{-36}$

Таким образом, второй множитель равен $\frac{1}{27}a^{-6}b^{-36}$.

3. Теперь перемножим полученные выражения:

$\left(\frac{9}{4}a^8b^{16}\right) \cdot \left(\frac{1}{27}a^{-6}b^{-36}\right)$

Сгруппируем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями и выполним умножение, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$\left(\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{27}\right) \cdot (a^8 \cdot a^{-6}) \cdot (b^{16} \cdot b^{-36}) = \frac{9}{108} \cdot a^{8+(-6)} \cdot b^{16+(-36)} = \frac{1}{12} \cdot a^2 \cdot b^{-20}$

4. В итоговом выражении не должно быть степеней с отрицательными показателями. Преобразуем $b^{-20}$, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$\frac{1}{12}a^2b^{-20} = \frac{1}{12}a^2 \cdot \frac{1}{b^{20}} = \frac{a^2}{12b^{20}}$

Ответ: $\frac{a^2}{12b^{20}}$