Номер 1, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 1, страница 93.

Условие.

1. Решите уравнение:

1) $ \frac{4x + 8}{x + 2} - \frac{x - 4}{x + 2} = 0; $

2) $ \frac{x}{x - 4} - \frac{16}{x^2 - 4x} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{4x + 8}{x + 2} - \frac{x - 4}{x + 2} = 0$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить числители, выполнив вычитание:
$\frac{(4x + 8) - (x - 4)}{x + 2} = 0$
Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что минус перед второй дробью меняет знаки в ее числителе:
$\frac{4x + 8 - x + 4}{x + 2} = 0$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3x + 12}{x + 2} = 0$
Дробное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатель не равен нулю:
$x + 2 \neq 0$
$x \neq -2$
Теперь приравняем числитель к нулю и решим полученное линейное уравнение:
$3x + 12 = 0$
$3x = -12$
$x = \frac{-12}{3}$
$x = -4$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $-4 \neq -2$, корень является решением уравнения.
Ответ: $-4$.

2) $\frac{x}{x - 4} - \frac{16}{x^2 - 4x} = 0$

Разложим знаменатель второй дроби на множители:
$x^2 - 4x = x(x - 4)$
Уравнение примет вид:
$\frac{x}{x - 4} - \frac{16}{x(x - 4)} = 0$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$x(x - 4) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 4$
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 4$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 4)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x$:
$\frac{x \cdot x}{x(x - 4)} - \frac{16}{x(x - 4)} = 0$
Выполним вычитание дробей:
$\frac{x^2 - 16}{x(x - 4)} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 16 = 0$
Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$(x - 4)(x + 4) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня:
$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$
Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 4$).
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=4$ знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 \neq 0$ и $-4 \neq 4$.
Следовательно, уравнение имеет только одно решение.
Ответ: $-4$.