Номер 1, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Выполните действия:

1) $ -\frac{54a^6b^9}{c^{12}} \cdot \left(-\frac{c^{20}}{12a^4b^{15}}\right) $;

2) $ \frac{98m^8}{p^{17}} : (49m^5p^2) $;

3) $ \frac{5a + 5b}{b} \cdot \frac{6b^2}{a^2 - b^2} $;

4) $ \frac{x^2 - 49}{3x - 24} : \frac{5x + 35}{x - 8} $.

Для решения этих задач мы воспользуемся правилами умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей, а также формулами сокращённого умножения.

1) $-\frac{54a^6b^9}{c^{12}} \cdot \left(-\frac{c^{20}}{12a^4b^{15}}\right)$

• Определим знак: произведение двух отрицательных чисел даёт положительный результат.
• Перемножим числители и знаменатели: $\frac{54a^6b^9 \cdot c^{20}}{c^{12} \cdot 12a^4b^{15}}$.
• Сократим числа: 54 и 12 делятся на 6. Получаем $\frac{9}{2} = 4,5$.
• Сократим переменные:
  • $a^6 : a^4 = a^2$ (в числителе);
  • $b^9 : b^{15} = \frac{1}{b^6}$ (в знаменателе);
  • $c^{20} : c^{12} = c^8$ (в числителе).

Результат: $\frac{9a^2c^8}{2b^6}$ или $4,5a^2c^8b^{-6}$

2) $\frac{98m^8}{p^{17}} : (49m^5p^2)$

• Заменим деление умножением: представим делитель как $\frac{49m^5p^2}{1}$ и перевернём его.
• Получаем: $\frac{98m^8}{p^{17}} \cdot \frac{1}{49m^5p^2}$.
• Сократим числа: 98 и 49 делятся на 49. Получаем 2 в числителе.
• Сократим и сгруппируем переменные:
  • $m^8 : m^5 = m^3$;
  • $p^{17} \cdot p^2 = p^{19}$ (в знаменателе).

Результат: $\frac{2m^3}{p^{19}}$

3) $\frac{5a + 5b}{b} \cdot \frac{6b^2}{a^2 - b^2}$

• Разложим на множители:
  • $5a + 5b = 5(a + b)$;
  • $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ (разность квадратов).
• Запишем под общей чертой: $\frac{5(a + b) \cdot 6b^2}{b \cdot (a - b)(a + b)}$.
• Сократим общие множители: $(a + b)$ сокращается полностью, $b^2$ и $b$ сокращаются до $b$ в числителе.
• Перемножим остатки: $5 \cdot 6b = 30b$.

Результат: $\frac{30b}{a - b}$

4) $\frac{x^2 - 49}{3x - 24} : \frac{5x + 35}{x - 8}$

• Перевернём вторую дробь: $\frac{x^2 - 49}{3x - 24} \cdot \frac{x - 8}{5x + 35}$.
• Разложим всё на множители:
  • $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$;
  • $3x - 24 = 3(x - 8)$;
  • $5x + 35 = 5(x + 7)$.
• Сократим дробь:
  • $(x + 7)$ уходит;
  • $(x - 8)$ уходит.
• Что осталось: $\frac{x - 7}{3 \cdot 5}$.

Результат: $\frac{x - 7}{15}$