Номер 2, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 2, страница 92.

Условие.

2. Сократите дробь:

1) $\frac{36a^{12}b^7}{54a^8b^{11}}$;

2) $\frac{18mn - 27m}{9mn}$;

3) $\frac{3c + 15}{c^2 - 25}$;

4) $\frac{x^2 - 14x + 49}{49 - x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для сокращения дроби $\frac{36a^{12}b^7}{54a^8b^{11}}$ необходимо поочередно сократить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Сначала сократим числовые коэффициенты 36 и 54. Наибольший общий делитель для этих чисел равен 18.
$\frac{36}{54} = \frac{18 \cdot 2}{18 \cdot 3} = \frac{2}{3}$.
Теперь сократим степени, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
Для переменной $a$: $\frac{a^{12}}{a^8} = a^{12-8} = a^4$.
Для переменной $b$: $\frac{b^7}{b^{11}} = \frac{1}{b^{11-7}} = \frac{1}{b^4}$.
Объединим полученные результаты:
$\frac{36a^{12}b^7}{54a^8b^{11}} = \frac{2}{3} \cdot a^4 \cdot \frac{1}{b^4} = \frac{2a^4}{3b^4}$.
Ответ: $\frac{2a^4}{3b^4}$

2) В дроби $\frac{18mn - 27m}{9mn}$ для начала разложим числитель на множители. Для этого вынесем за скобки общий множитель.
Общим множителем для слагаемых $18mn$ и $-27m$ является $9m$.
$18mn - 27m = 9m(2n - 3)$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{9m(2n - 3)}{9mn}$.
Теперь сократим одинаковые множители $9m$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{9m}(2n - 3)}{\cancel{9m}n} = \frac{2n - 3}{n}$.
Ответ: $\frac{2n - 3}{n}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{3c + 15}{c^2 - 25}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе $3c + 15$ вынесем за скобки общий множитель 3:
$3c + 15 = 3(c + 5)$.
Знаменатель $c^2 - 25$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$c^2 - 25 = c^2 - 5^2 = (c - 5)(c + 5)$.
Перепишем дробь в новом виде:
$\frac{3(c + 5)}{(c - 5)(c + 5)}$.
Сократим общий множитель $(c+5)$:
$\frac{3\cancel{(c + 5)}}{(c - 5)\cancel{(c + 5)}} = \frac{3}{c - 5}$.
Ответ: $\frac{3}{c - 5}$

4) Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 14x + 49}{49 - x^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^2 - 14x + 49$ — это полный квадрат разности. Используем формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$x^2 - 14x + 49 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x - 7)^2$.
Знаменатель $49 - x^2$ — это разность квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{(x-7)^2}{(7-x)(7+x)} = \frac{(x-7)(x-7)}{(7-x)(x+7)}$.
Заметим, что выражения $(x-7)$ и $(7-x)$ противоположны, т.е. $(7-x) = -(x-7)$. Сделаем замену в знаменателе:
$\frac{(x-7)(x-7)}{-(x-7)(x+7)}$.
Сократим общий множитель $(x-7)$:
$\frac{\cancel{(x-7)}(x-7)}{-\cancel{(x-7)}(x+7)} = \frac{x-7}{-(x+7)} = -\frac{x-7}{x+7}$.
Чтобы избавиться от минуса перед дробью, умножим на него числитель:
$-\frac{x-7}{x+7} = \frac{-(x-7)}{x+7} = \frac{7-x}{x+7}$.
Ответ: $\frac{7-x}{x+7}$