Номер 6, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Первый рабочий изготовил 120 деталей, а второй — 144 детали. Первый рабочий изготавливал на 4 детали в час больше, чем второй, и работал на 3 ч меньше второго. Сколько деталей изготавливал за 1 ч каждый рабочий?

Для решения задачи введем переменную. Пусть производительность второго рабочего равна $x$ деталей в час.

Согласно условию, первый рабочий изготавливал на 4 детали в час больше, следовательно, его производительность составляет $(x+4)$ деталей в час.

Время, которое потребовалось первому рабочему для изготовления 120 деталей, можно выразить как $t_1 = \frac{120}{x+4}$ часов.

Время, которое потребовалось второму рабочему для изготовления 144 деталей, составляет $t_2 = \frac{144}{x}$ часов.

Известно, что первый рабочий работал на 3 часа меньше второго. Это означает, что $t_2 - t_1 = 3$. Составим и решим уравнение:

$\frac{144}{x} - \frac{120}{x+4} = 3$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+4)$, чтобы избавиться от дробей. По смыслу задачи производительность $x$ должна быть положительным числом, поэтому $x \neq 0$ и $x+4 \neq 0$.

$144(x+4) - 120x = 3x(x+4)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$144x + 576 - 120x = 3x^2 + 12x$

$24x + 576 = 3x^2 + 12x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 + 12x - 24x - 576 = 0$

$3x^2 - 12x - 576 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 3:

$x^2 - 4x - 192 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_{1} = \frac{-(-4) + \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_{2} = \frac{-(-4) - \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Корень $x_2 = -12$ не имеет физического смысла, так как производительность не может быть отрицательной. Значит, производительность второго рабочего составляет $x = 16$ деталей в час.

Теперь найдем производительность первого рабочего:

$x + 4 = 16 + 4 = 20$ деталей в час.

Ответ: первый рабочий изготавливал 20 деталей в час, а второй рабочий — 16 деталей в час.