Номер 8, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 8, страница 91.

Условие.

8. Докажите, что при любом значении $p$ уравнение $x^2 + px + p - 4 = 0$ имеет два корня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что данное квадратное уравнение имеет два корня при любом значении параметра $p$, необходимо показать, что его дискриминант ($D$) всегда строго больше нуля.

Уравнение имеет вид: $x^2 + px + p - 4 = 0$.

Это квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 1$
$b = p$
$c = p - 4$

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 4)$
$D = p^2 - 4p + 16$

Теперь необходимо доказать, что выражение $p^2 - 4p + 16$ положительно при любом значении $p$. Для этого преобразуем его, выделив полный квадрат:
$D = p^2 - 4p + 16 = (p^2 - 2 \cdot p \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 16 = (p - 2)^2 - 4 + 16 = (p - 2)^2 + 12$

Проанализируем полученное выражение $D = (p - 2)^2 + 12$.

Выражение $(p - 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю для любого $p$: $(p - 2)^2 \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(p - 2)^2$ равно 0 (достигается при $p=2$).

Тогда наименьшее возможное значение дискриминанта $D$ будет равно $0 + 12 = 12$.

Таким образом, для любого значения $p$ выполняется неравенство $D \ge 12$.

Поскольку $12 > 0$, дискриминант $D$ всегда строго положителен. Это означает, что уравнение $x^2 + px + p - 4 = 0$ всегда имеет два различных действительных корня, что и требовалось доказать.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D = p^2 - 4p + 16$. После выделения полного квадрата получаем $D = (p-2)^2 + 12$. Так как $(p-2)^2 \ge 0$ для любого $p$, то $D \ge 12$. Поскольку дискриминант всегда строго больше нуля, уравнение имеет два корня при любом значении $p$.