Номер 4, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 4, страница 92.

Условие.

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{y+6}{4y+8} - \frac{y+2}{4y-8} + \frac{5}{y^2-4} $;

2) $ \frac{6b^3+48b}{b^3+64} - \frac{3b^2}{b^2-4b+16} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано выражение:

$$ \frac{y+6}{4y+8} - \frac{y+2}{4y-8} + \frac{5}{y^2-4} $$

Для начала, разложим знаменатели каждой дроби на множители. Для первых двух знаменателей вынесем общий множитель за скобки, а для третьего применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$4y+8 = 4(y+2)$
$4y-8 = 4(y-2)$
$y^2-4 = y^2-2^2 = (y-2)(y+2)$

Теперь подставим разложенные знаменатели обратно в выражение:

$$ \frac{y+6}{4(y+2)} - \frac{y+2}{4(y-2)} + \frac{5}{(y-2)(y+2)} $$

Чтобы выполнить сложение и вычитание дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для выражений $4(y+2)$, $4(y-2)$ и $(y-2)(y+2)$ будет $4(y+2)(y-2)$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$$ \frac{(y+6)(y-2)}{4(y+2)(y-2)} - \frac{(y+2)(y+2)}{4(y-2)(y+2)} + \frac{5 \cdot 4}{4(y-2)(y+2)} $$

Выполним умножение в числителях:

$(y+6)(y-2) = y^2 - 2y + 6y - 12 = y^2 + 4y - 12$
$(y+2)(y+2) = (y+2)^2 = y^2 + 4y + 4$
$5 \cdot 4 = 20$

Теперь объединим дроби, выполнив арифметические действия в общем числителе:

$$ \frac{(y^2 + 4y - 12) - (y^2 + 4y + 4) + 20}{4(y+2)(y-2)} $$

Раскроем скобки, учитывая знак "минус" перед вторым слагаемым:

$$ \frac{y^2 + 4y - 12 - y^2 - 4y - 4 + 20}{4(y+2)(y-2)} $$

Приведем подобные члены в числителе:

$$ \frac{(y^2 - y^2) + (4y - 4y) + (-12 - 4 + 20)}{4(y+2)(y-2)} = \frac{0 + 0 + 4}{4(y+2)(y-2)} = \frac{4}{4(y+2)(y-2)} $$

Сократим общую для числителя и знаменателя четверку:

$$ \frac{1}{(y+2)(y-2)} $$

Применив формулу разности квадратов в обратном порядке, получим окончательный вид:

$$ \frac{1}{y^2-4} $$

Ответ: $ \frac{1}{y^2-4} $

2)

Дано выражение:

$$ \frac{6b^3 + 48b}{b^3 + 64} - \frac{3b^2}{b^2 - 4b + 16} $$

Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$b^3 + 64 = b^3 + 4^3 = (b+4)(b^2 - 4b + 16)$

Выражение принимает вид:

$$ \frac{6b^3 + 48b}{(b+4)(b^2 - 4b + 16)} - \frac{3b^2}{b^2 - 4b + 16} $$

Общим знаменателем является $(b+4)(b^2 - 4b + 16)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на множитель $(b+4)$:

$$ \frac{6b^3 + 48b}{(b+4)(b^2 - 4b + 16)} - \frac{3b^2(b+4)}{(b+4)(b^2 - 4b + 16)} $$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$$ \frac{6b^3 + 48b - 3b^2(b+4)}{(b+4)(b^2 - 4b + 16)} $$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$$ \frac{6b^3 + 48b - (3b^3 + 12b^2)}{(b+4)(b^2 - 4b + 16)} = \frac{6b^3 + 48b - 3b^3 - 12b^2}{(b+4)(b^2 - 4b + 16)} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{(6b^3 - 3b^3) - 12b^2 + 48b}{(b+4)(b^2 - 4b + 16)} = \frac{3b^3 - 12b^2 + 48b}{(b+4)(b^2 - 4b + 16)} $$

Вынесем общий множитель $3b$ за скобки в числителе:

$$ \frac{3b(b^2 - 4b + 16)}{(b+4)(b^2 - 4b + 16)} $$

Сократим общий множитель $(b^2 - 4b + 16)$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{3b}{b+4} $$

Ответ: $ \frac{3b}{b+4} $