Номер 4, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 4, страница 93.

Условие.

4. Известно, что $x^2 + \frac{49}{x^2} = 50$. Найдите значение выражения $x - \frac{7}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти значение выражения $x - \frac{7}{x}$, возведем его в квадрат и воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = \frac{7}{x}$.

$(x - \frac{7}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{7}{x} + (\frac{7}{x})^2$

Упростим средний член выражения:

$2 \cdot x \cdot \frac{7}{x} = 2 \cdot 7 = 14$

Таким образом, квадрат нашего выражения равен:

$(x - \frac{7}{x})^2 = x^2 - 14 + \frac{49}{x^2}$

Сгруппируем члены, чтобы использовать данное в условии равенство:

$(x - \frac{7}{x})^2 = (x^2 + \frac{49}{x^2}) - 14$

По условию задачи известно, что $x^2 + \frac{49}{x^2} = 50$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$(x - \frac{7}{x})^2 = 50 - 14$

$(x - \frac{7}{x})^2 = 36$

Теперь, чтобы найти значение самого выражения $x - \frac{7}{x}$, необходимо извлечь квадратный корень из 36. Уравнение имеет два решения:

$x - \frac{7}{x} = \sqrt{36} = 6$

или

$x - \frac{7}{x} = -\sqrt{36} = -6$

Следовательно, искомое выражение может принимать два значения.

Ответ: 6 или -6.