Номер 2, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 2 - номер 2, страница 93.

Условие.

2. Упростите выражение:

1) $ \frac{3a}{a-3} + \frac{a+5}{6-2a} \cdot \frac{54}{5a+a^2} $;

2) $ \left(\frac{a+4}{a-4} - \frac{a-4}{a+4}\right) : \frac{48a}{16-a^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \frac{3a}{a-3} + \frac{a+5}{6-2a} \cdot \frac{54}{5a+a^2} $

Сначала выполним умножение дробей. Для этого разложим знаменатели на множители:

$ 6-2a = 2(3-a) = -2(a-3) $

$ 5a+a^2 = a(5+a) = a(a+5) $

Теперь выполним умножение:

$ \frac{a+5}{6-2a} \cdot \frac{54}{5a+a^2} = \frac{a+5}{-2(a-3)} \cdot \frac{54}{a(a+5)} $

Сократим общие множители $ (a+5) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{1}{-2(a-3)} \cdot \frac{54}{a} = \frac{54}{-2a(a-3)} = -\frac{27}{a(a-3)} $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{3a}{a-3} + \left(-\frac{27}{a(a-3)}\right) = \frac{3a}{a-3} - \frac{27}{a(a-3)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-3) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ a $:

$ \frac{3a \cdot a}{a(a-3)} - \frac{27}{a(a-3)} = \frac{3a^2}{a(a-3)} - \frac{27}{a(a-3)} = \frac{3a^2 - 27}{a(a-3)} $

Разложим числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель 3, а затем применим формулу разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $:

$ 3a^2 - 27 = 3(a^2 - 9) = 3(a-3)(a+3) $

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$ \frac{3(a-3)(a+3)}{a(a-3)} = \frac{3(a+3)}{a} $

Ответ: $ \frac{3(a+3)}{a} $

2) $ \left(\frac{a+4}{a-4} - \frac{a-4}{a+4}\right) : \frac{48a}{16-a^2} $

Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a-4)(a+4) $:

$ \frac{a+4}{a-4} - \frac{a-4}{a+4} = \frac{(a+4)(a+4)}{(a-4)(a+4)} - \frac{(a-4)(a-4)}{(a-4)(a+4)} = \frac{(a+4)^2 - (a-4)^2}{(a-4)(a+4)} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $ и квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2-2xy+y^2 $:

$ (a+4)^2 = a^2+8a+16 $

$ (a-4)^2 = a^2-8a+16 $

Теперь вычтем выражения в числителе:

$ (a^2+8a+16) - (a^2-8a+16) = a^2+8a+16 - a^2+8a-16 = 16a $

Результат в скобках:

$ \frac{16a}{(a-4)(a+4)} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{16a}{(a-4)(a+4)} : \frac{48a}{16-a^2} = \frac{16a}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{16-a^2}{48a} $

Разложим на множители выражение $ 16-a^2 $ по формуле разности квадратов: $ 16-a^2 = (4-a)(4+a) = -(a-4)(a+4) $. Также заметим, что $ (a-4)(a+4) = a^2-16 $.

$ \frac{16a}{a^2-16} \cdot \frac{-(a^2-16)}{48a} $

Сократим общие множители $ a $, $ 16 $ и $ (a^2-16) $:

$ \frac{16a \cdot (-(a^2-16))}{(a^2-16) \cdot 48a} = \frac{-16a}{48a} = -\frac{16}{48} = -\frac{1}{3} $

Ответ: $ -\frac{1}{3} $