Номер 3, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 2 - номер 3, страница 93.

Условие.

3. Докажите тождество:

$\left(\frac{a^2}{a+5} - \frac{a^3}{a^2+10a+25}\right) : \left(\frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{a^2-25}\right) = \frac{5a-a^2}{a+5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку, и покажем, что она равна правой части.

1. Упростим выражение в первых скобках: $ \left( \frac{a^2}{a+5} - \frac{a^3}{a^2 + 10a + 25} \right) $.

Знаменатель второй дроби $ a^2 + 10a + 25 $ является полным квадратом суммы $ (a+5)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a+5)^2 $:

$ \frac{a^2}{a+5} - \frac{a^3}{(a+5)^2} = \frac{a^2(a+5)}{(a+5)^2} - \frac{a^3}{(a+5)^2} = \frac{a^2(a+5) - a^3}{(a+5)^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^3 + 5a^2 - a^3}{(a+5)^2} = \frac{5a^2}{(a+5)^2} $

2. Упростим выражение во вторых скобках: $ \left( \frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{a^2 - 25} \right) $.

Знаменатель второй дроби $ a^2 - 25 $ разложим на множители по формуле разности квадратов: $ (a-5)(a+5) $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a-5)(a+5) $:

$ \frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{a(a-5)}{(a-5)(a+5)} - \frac{a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{a(a-5) - a^2}{(a-5)(a+5)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 - 5a - a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{-5a}{(a-5)(a+5)} $

3. Теперь выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:

$ \frac{5a^2}{(a+5)^2} : \frac{-5a}{(a-5)(a+5)} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь и сократим:

$ \frac{5a^2}{(a+5)^2} \cdot \frac{(a-5)(a+5)}{-5a} = \frac{\cancel{5a} \cdot a \cdot (a-5) \cdot \cancel{(a+5)}}{(a+5)^{\cancel{2}} \cdot (- \cancel{5a})} = \frac{a(a-5)}{-(a+5)} $

Преобразуем полученное выражение:

$ \frac{a(a-5)}{-(a+5)} = \frac{-(a^2-5a)}{a+5} = \frac{5a - a^2}{a+5} $

В результате преобразований левая часть тождества была приведена к виду $ \frac{5a - a^2}{a+5} $, что полностью совпадает с правой частью. Следовательно, тождество доказано.

Ответ:

Преобразование левой части тождества:$ \left( \frac{a^2}{a+5} - \frac{a^3}{a^2 + 10a + 25} \right) : \left( \frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{a^2 - 25} \right) = $$ = \left( \frac{a^2(a+5)}{(a+5)^2} - \frac{a^3}{(a+5)^2} \right) : \left( \frac{a(a-5)}{(a-5)(a+5)} - \frac{a^2}{(a-5)(a+5)} \right) = $$ = \frac{a^3 + 5a^2 - a^3}{(a+5)^2} : \frac{a^2 - 5a - a^2}{(a-5)(a+5)} = $$ = \frac{5a^2}{(a+5)^2} : \frac{-5a}{(a-5)(a+5)} = $$ = \frac{5a^2}{(a+5)^2} \cdot \frac{(a-5)(a+5)}{-5a} = \frac{a(a-5)}{-(a+5)} = \frac{5a - a^2}{a+5} $.Так как в результате преобразований левая часть стала равна правой, тождество доказано.