Номер 6, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 6, страница 92.

Условие.

6. Постройте график функции $y = \frac{3x^2 + 4x}{x} - \frac{x^2 - 1}{x + 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения графика функции $y = \frac{3x^2+4x}{x} - \frac{x^2-1}{x+1}$ сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x \ne 0$

$x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$

Таким образом, область определения функции: $D(y): x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne -1$.

Разложим числители на множители:

Первая дробь: $\frac{3x^2+4x}{x} = \frac{x(3x+4)}{x} = 3x+4$

Вторая дробь (используя формулу разности квадратов): $\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1$

Подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$y = (3x+4) - (x-1) = 3x+4-x+1 = 2x+5$

Таким образом, при $x \ne 0$ и $x \ne -1$ функция совпадает с линейной функцией $y = 2x+5$. Графиком этой функции является прямая.

Из-за ограничений в области определения на графике будут две "выколотые" точки. Найдем их координаты:

1. При $x = -1$ (точка, которая не входит в ОДЗ):

$y = 2(-1)+5 = -2+5 = 3$

Следовательно, точка $(-1; 3)$ выколота.

2. При $x = 0$ (точка, которая не входит в ОДЗ):

$y = 2(0)+5 = 5$

Следовательно, точка $(0; 5)$ выколота.

Для построения прямой $y=2x+5$ найдем координаты двух любых точек, принадлежащих ей.

Например:

- при $x=1$, $y = 2(1)+5 = 7$. Точка $(1; 7)$.

- при $x=-2$, $y = 2(-2)+5 = 1$. Точка $(-2; 1)$.

Строим прямую, проходящую через точки $(1; 7)$ и $(-2; 1)$, и отмечаем на ней выколотые точки $(-1; 3)$ и $(0; 5)$ пустыми кружочками.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 2x+5$ с выколотыми точками $(-1; 3)$ и $(0; 5)$.