Номер 7, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Постройте график функции $y = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } 0 \le x \le 4, \\ \frac{8}{x}, \text{ если } x > 4. \end{cases}$

Для построения графика функции $y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } 0 \le x \le 4, \\ \frac{8}{x}, & \text{если } x > 4 \end{cases}$ необходимо рассмотреть её на двух заданных промежутках и соединить полученные части.

Анализ и построение на промежутке $0 \le x \le 4$

На этом отрезке функция задана формулой $y = \sqrt{x}$. Это график стандартной функции квадратного корня, а точнее, его верхняя ветвь. Для построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих этому участку графика. Ключевые точки: при $x=0$ получаем $y = \sqrt{0} = 0$, то есть точку $(0, 0)$; при $x=1$ получаем $y = \sqrt{1} = 1$, то есть точку $(1, 1)$; на границе отрезка при $x=4$ получаем $y = \sqrt{4} = 2$, то есть точку $(4, 2)$. Поскольку неравенство $0 \le x \le 4$ нестрогое, обе граничные точки, $(0, 0)$ и $(4, 2)$, принадлежат графику и на чертеже отмечаются закрашенными точками. Соединяем эти точки плавной кривой, выпуклой вверх.

Анализ и построение на промежутке $x > 4$

На этом луче функция задана формулой $y = \frac{8}{x}$. Это график обратной пропорциональности (ветвь гиперболы), расположенной в первой координатной четверти. Рассмотрим поведение функции на границе промежутка. При $x$, стремящемся к 4 справа (обозначается $x \to 4+$), значение функции стремится к $y = \frac{8}{4} = 2$. Так как неравенство $x > 4$ строгое, точка $(4, 2)$ не принадлежит этому участку графика. На чертеже её принято отмечать выколотой точкой (пустым кружком). Для большей точности построения найдем еще одну точку: например, при $x=8$ получаем $y = \frac{8}{8} = 1$, то есть точку $(8, 1)$. При неограниченном увеличении $x$ ($x \to +\infty$) знаменатель дроби $\frac{8}{x}$ растет, а сама дробь уменьшается, стремясь к нулю. Это означает, что ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

Итоговый график

Объединяем два построенных участка на одной координатной плоскости. Первый участок (часть параболы) заканчивается в точке $(4, 2)$, которая принадлежит графику. Второй участок (часть гиперболы) "начинается" из точки $(4, 2)$, которая этому участку не принадлежит. Так как предел второй функции при $x \to 4+$ равен значению первой функции в точке $x=4$ (оба равны 2), то выколотая точка второго графика "закрывается" конечной точкой первого графика. В результате график функции является непрерывной линией без скачков и разрывов. График начинается в начале координат, точке $(0, 0)$, плавно возрастает до точки $(4, 2)$, а затем плавно убывает, проходя через точку $(8, 1)$ и асимптотически приближаясь к оси $Ox$.

Ответ: График функции построен. Он представляет собой непрерывную линию, состоящую из двух частей: участка графика функции $y=\sqrt{x}$ на отрезке $[0, 4]$ и участка графика функции $y=\frac{8}{x}$ на интервале $(4, +\infty)$. График начинается в точке $(0,0)$, возрастает до точки $(4,2)$, а затем убывает, асимптотически приближаясь к оси абсцисс.